Theorem prodmodclem2a 11377

Description: Lemma for prodmodc 11379. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3	|- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem2.4	|- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem2a.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodmolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
prodmolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodmolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodmolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
prodmodclem2a	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, G   j, K, k   j, M, k   j, N, k   f, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( f, j)   A( f)   B( f, k)   F( f, j)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem prodmodclem2a

Dummy variables p m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodmo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
2		prodmo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		prodmodclem2a.dc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
4		prodmolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
5		prodmolem2.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
6		1zzd 9105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		prodmolem2.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	nnzd 9196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10		prodmolem2.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
11	9, 10	fihasheqf1od 10568	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` A ) )
12	7	nnnn0d 9054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
13		hashfz1 10561	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	11, 14	eqtr3d 2175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (♯ ` A ) = N )
16	15	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
17		isoeq4 5713	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
19	5, 18	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
20		isof1o 5716	. . . . . 6 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
21		f1of 5375	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
22	19, 20, 21	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
23		nnuz 9385	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	7, 23	eleqtrdi 2233	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		eluzfz2 9843	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
27	22, 26	ffvelrnd 5564	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
28	4, 27	sseldd 3103	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
29	4	sselda 3102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( ZZ>= ` M ) )
30	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
31		f1ocnvfv2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) = p )
32	30, 31	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) = p )
33		f1ocnv 5388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
34		f1of 5375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
35	30, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
36	35	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) )
37		elfzle2 9839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` p ) <_ N )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( `' K ` p ) <_ N )
39	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
40		fzssuz 9876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
41		uzssz 9369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
42		zssre 9085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
43	41, 42	sstri 3111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
44	40, 43	sstri 3111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
45		ressxr 7833	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
46	44, 45	sstri 3111	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
48		uzssz 9369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
49	48, 42	sstri 3111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
50	49, 45	sstri 3111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR*
51	4, 50	sstrdi 3114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR* )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> A C_ RR* )
53	26	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
54		leisorel 10612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` p ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) ) )
55	39, 47, 52, 36, 53, 54	syl122anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( ( `' K ` p ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) ) )
56	38, 55	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) )
57	32, 56	eqbrtrrd 3960	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p <_ ( K ` N ) )
58	4, 48	sstrdi 3114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ ZZ )
59	58	sselda 3102	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ZZ )
60	48, 28	sseldi 3100	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
61	60	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
62		eluz 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ ( K ` N ) ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ ( K ` N ) ) )
64	57, 63	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) )
65		elfzuzb 9831	. . . . . 6 |- ( p e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( p e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) ) )
66	29, 64, 65	sylanbrc 414	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( M ... ( K ` N ) ) )
67	66	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. A -> p e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
68	67	ssrdv 3108	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
69	1, 2, 3, 28, 68	fproddccvg 11373	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) )
70		mulid2 7788	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 1 x. m ) = m )
71	70	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 1 x. m ) = m )
72		mulid1 7787	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
73	72	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
74		mulcl 7771	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m x. x ) e. CC )
75	74	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m x. x ) e. CC )
76		1cnd 7806	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
77	26, 16	eleqtrrd 2220	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
78		eluzelz 9359	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
79		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
80	2	ralrimiva 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
81	80	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
82		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
83	82	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ B e. CC
84		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
85	84	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( B e. CC <-> [_ m / k ]_ B e. CC ) )
86	83, 85	rspc 2787	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ m / k ]_ B e. CC ) )
87	79, 81, 86	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ B e. CC )
88		1cnd 7806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 1 e. CC )
89		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
90	89	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> (DECID k e. A <-> DECID m e. A ) )
91	3	ralrimiva 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
92	91	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
93		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
94	90, 92, 93	rspcdva 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
95	87, 88, 94	ifcldadc 3506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
96		nfcv 2282	. . . . . . 7 |- F/_ k m
97		nfv 1509	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
98		nfcv 2282	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
99	97, 82, 98	nfif 3505	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 )
100	89, 84	ifbieq1d 3499	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
101	96, 99, 100, 1	fvmptf 5521	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
102	78, 95, 101	syl2an2 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
103	102, 95	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
104		prodmodclem2.4	. . . . . 6 |- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
105		breq1 3940	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> m <_ (♯ ` A ) ) )
106		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
107	106	csbeq1d 3014	. . . . . . 7 |- ( j = m -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
108	105, 107	ifbieq1d 3499	. . . . . 6 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
109		elnnuz 9386	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110	109	biimpri 132	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
111	110	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
112	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
113		1zzd 9105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
114	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> N e. ZZ )
115		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
116	115	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ZZ )
117	113, 114, 116	3jca 1162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
118		eluzle 9362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
119	118	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ m )
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ (♯ ` A ) )
121	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) = N )
122	120, 121	breqtrd 3962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ N )
123	119, 122	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ N ) )
124		elfz2 9828	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... N ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ N ) ) )
125	117, 123, 124	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... N ) )
126	112, 125	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( K ` m ) e. A )
127	80	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
128		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
129	128	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
130		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
131	130	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
132	129, 131	rspc 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
133	126, 127, 132	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
134		1cnd 7806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
135	111	nnzd 9196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
136	15, 8	eqeltrd 2217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
137	136	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
138		zdcle 9151	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
139	135, 137, 138	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
140	133, 134, 139	ifcldadc 3506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
141	104, 108, 111, 140	fvmptd3 5522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
142	141, 140	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
143		eldifi 3203	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> m e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) )
144		elfzelz 9837	. . . . . . 7 |- ( m e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
145	143, 144	syl 14	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> m e. ZZ )
146		eldifn 3204	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> -. m e. A )
147	146	iffalsed 3489	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
148		ax-1cn 7737	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
149	147, 148	eqeltrdi 2231	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
150	149	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
151	145, 150, 101	syl2an2 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
152	147	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
153	151, 152	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
154		elfzle2 9839	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
155	154	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
156	155	iftrued 3486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
157		breq1 3940	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> x <_ (♯ ` A ) ) )
158		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( K ` j ) = ( K ` x ) )
159	158	csbeq1d 3014	. . . . . . 7 |- ( j = x -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
160	157, 159	ifbieq1d 3499	. . . . . 6 |- ( j = x -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
161		elfznn 9865	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
162	161	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. NN )
163	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
164		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
165	15	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> (♯ ` A ) = N )
166	165	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
167	164, 166	eleqtrd 2219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. ( 1 ... N ) )
168	163, 167	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
169	80	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
170		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
171	170	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC
172		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
173	172	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) )
174	171, 173	rspc 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` x ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) )
175	168, 169, 174	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
176	156, 175	eqeltrd 2217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
177	104, 160, 162, 176	fvmptd3 5522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
178	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
179	178, 48	sstrdi 3114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A C_ ZZ )
180	179, 168	sseldd 3103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
181	168	iftrued 3486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
182	181, 175	eqeltrd 2217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
183		nfcv 2282	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( K ` x )
184		nfv 1509	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( K ` x ) e. A
185	184, 170, 98	nfif 3505	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 )
186		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
187	186, 172	ifbieq1d 3499	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
188	183, 185, 187, 1	fvmptf 5521	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
189	180, 182, 188	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
190	189, 181	eqtrd 2173	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
191	156, 177, 190	3eqtr4d 2183	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
192	71, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191	seq3coll 10617	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
193		prodmodc.3	. . . 4 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
194	7, 7	jca 304	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
195	1, 2, 193, 104, 194, 10, 30	prodmodclem3 11376	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
196	192, 195	eqtr4d 2176	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )
197	69, 196	breqtrd 3962	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   [_csb 3007   \ cdif 3073   C_ wss 3076   ifcif 3479   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   `'ccnv 4546   -->wf 5127   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131   Isom wiso 5132  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249  ♯chash 10553   ~~> cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  prodmodclem2  11378  zproddc  11380