Theorem prodmodclem2a 11758

Description: Lemma for prodmodc 11760. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3	|- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem2.4	|- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem2a.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodmolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
prodmolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodmolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodmolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
prodmodclem2a	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, G   j, K, k   j, M, k   j, N, k   f, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( f, j)   A( f)   B( f, k)   F( f, j)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem prodmodclem2a

Dummy variables p m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodmo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
2		prodmo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		prodmodclem2a.dc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
4		prodmolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
5		prodmolem2.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
6		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		prodmolem2.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10		prodmolem2.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
11	9, 10	fihasheqf1od 10898	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` A ) )
12	7	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
13		hashfz1 10892	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	11, 14	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (♯ ` A ) = N )
16	15	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
17		isoeq4 5854	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
19	5, 18	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
20		isof1o 5857	. . . . . 6 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
21		f1of 5507	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
22	19, 20, 21	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
23		nnuz 9654	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	7, 23	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		eluzfz2 10124	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
27	22, 26	ffvelcdmd 5701	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
28	4, 27	sseldd 3185	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
29	4	sselda 3184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( ZZ>= ` M ) )
30	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
31		f1ocnvfv2 5828	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) = p )
32	30, 31	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) = p )
33		f1ocnv 5520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
34		f1of 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
35	30, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
36	35	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) )
37		elfzle2 10120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` p ) <_ N )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( `' K ` p ) <_ N )
39	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
40		fzssuz 10157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
41		uzssz 9638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
42		zssre 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
43	41, 42	sstri 3193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
44	40, 43	sstri 3193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
45		ressxr 8087	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
46	44, 45	sstri 3193	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
48		uzssz 9638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
49	48, 42	sstri 3193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
50	49, 45	sstri 3193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR*
51	4, 50	sstrdi 3196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR* )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> A C_ RR* )
53	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
54		leisorel 10946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` p ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` p ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) ) )
55	39, 47, 52, 36, 53, 54	syl122anc 1258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( ( `' K ` p ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) ) )
56	38, 55	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` ( `' K ` p ) ) <_ ( K ` N ) )
57	32, 56	eqbrtrrd 4058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p <_ ( K ` N ) )
58	4, 48	sstrdi 3196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ ZZ )
59	58	sselda 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ZZ )
60	48, 28	sselid 3182	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
62		eluz 9631	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ ( K ` N ) ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ ( K ` N ) ) )
64	57, 63	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) )
65		elfzuzb 10111	. . . . . 6 |- ( p e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( p e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` p ) ) )
66	29, 64, 65	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( M ... ( K ` N ) ) )
67	66	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. A -> p e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
68	67	ssrdv 3190	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
69	1, 2, 3, 28, 68	fproddccvg 11754	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) )
70		mullid 8041	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 1 x. m ) = m )
71	70	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 1 x. m ) = m )
72		mulrid 8040	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
73	72	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
74		mulcl 8023	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m x. x ) e. CC )
75	74	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m x. x ) e. CC )
76		1cnd 8059	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
77	26, 16	eleqtrrd 2276	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
78		eluzelz 9627	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
79		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
80	2	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
82		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
83	82	nfel1 2350	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ B e. CC
84		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
85	84	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( B e. CC <-> [_ m / k ]_ B e. CC ) )
86	83, 85	rspc 2862	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ m / k ]_ B e. CC ) )
87	79, 81, 86	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ B e. CC )
88		1cnd 8059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 1 e. CC )
89		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
90	89	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> (DECID k e. A <-> DECID m e. A ) )
91	3	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. A )
93		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
94	90, 92, 93	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
95	87, 88, 94	ifcldadc 3591	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
96		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ k m
97		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
98		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
99	97, 82, 98	nfif 3590	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 )
100	89, 84	ifbieq1d 3584	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
101	96, 99, 100, 1	fvmptf 5657	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
102	78, 95, 101	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
103	102, 95	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
104		prodmodclem2.4	. . . . . 6 |- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
105		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> m <_ (♯ ` A ) ) )
106		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
107	106	csbeq1d 3091	. . . . . . 7 |- ( j = m -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
108	105, 107	ifbieq1d 3584	. . . . . 6 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
109		elnnuz 9655	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110	109	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
111	110	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
112	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
113		1zzd 9370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
114	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> N e. ZZ )
115		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
116	115	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ZZ )
117	113, 114, 116	3jca 1179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
118		eluzle 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
119	118	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ m )
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ (♯ ` A ) )
121	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) = N )
122	120, 121	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ N )
123	119, 122	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ N ) )
124		elfz2 10107	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... N ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ N ) ) )
125	117, 123, 124	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... N ) )
126	112, 125	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( K ` m ) e. A )
127	80	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
128		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
129	128	nfel1 2350	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
130		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
131	130	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
132	129, 131	rspc 2862	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
133	126, 127, 132	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
134		1cnd 8059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
135	111	nnzd 9464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
136	15, 8	eqeltrd 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
137	136	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
138		zdcle 9419	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
139	135, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
140	133, 134, 139	ifcldadc 3591	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
141	104, 108, 111, 140	fvmptd3 5658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
142	141, 140	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
143		eldifi 3286	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> m e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) )
144		elfzelz 10117	. . . . . . 7 |- ( m e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
145	143, 144	syl 14	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> m e. ZZ )
146		eldifn 3287	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> -. m e. A )
147	146	iffalsed 3572	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
148		ax-1cn 7989	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
149	147, 148	eqeltrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
150	149	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
151	145, 150, 101	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
152	147	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
153	151, 152	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
154		elfzle2 10120	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
155	154	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
156	155	iftrued 3569	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
157		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> x <_ (♯ ` A ) ) )
158		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( K ` j ) = ( K ` x ) )
159	158	csbeq1d 3091	. . . . . . 7 |- ( j = x -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
160	157, 159	ifbieq1d 3584	. . . . . 6 |- ( j = x -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
161		elfznn 10146	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
162	161	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. NN )
163	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
164		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
165	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> (♯ ` A ) = N )
166	165	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
167	164, 166	eleqtrd 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. ( 1 ... N ) )
168	163, 167	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
169	80	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
170		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
171	170	nfel1 2350	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC
172		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
173	172	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) )
174	171, 173	rspc 2862	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` x ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) )
175	168, 169, 174	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
176	156, 175	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
177	104, 160, 162, 176	fvmptd3 5658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
178	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
179	178, 48	sstrdi 3196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A C_ ZZ )
180	179, 168	sseldd 3185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
181	168	iftrued 3569	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
182	181, 175	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
183		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( K ` x )
184		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( K ` x ) e. A
185	184, 170, 98	nfif 3590	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 )
186		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
187	186, 172	ifbieq1d 3584	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
188	183, 185, 187, 1	fvmptf 5657	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
189	180, 182, 188	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
190	189, 181	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
191	156, 177, 190	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
192	71, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191	seq3coll 10951	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
193		prodmodc.3	. . . 4 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
194	7, 7	jca 306	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
195	1, 2, 193, 104, 194, 10, 30	prodmodclem3 11757	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
196	192, 195	eqtr4d 2232	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )
197	69, 196	breqtrd 4060	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   \ cdif 3154   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   Isom wiso 5260  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   1c1 7897   x. cmul 7901   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556  ♯chash 10884   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  prodmodclem2  11759  zproddc  11761