ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodmodclem2a Unicode version

Theorem prodmodclem2a 11352
Description: Lemma for prodmodc 11354. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmodc.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmodclem2.4  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmodclem2a.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
prodmolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prodmolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
prodmolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
prodmolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j    k, F    j, G    j, K, k    j, M, k    j, N, k   
f, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( f, j)    A( f)    B( f, k)    F( f, j)    G( f, k)    H( f, j, k)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem prodmodclem2a
Dummy variables  p  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
2 prodmo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 prodmodclem2a.dc . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
4 prodmolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
5 prodmolem2.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
6 1zzd 9088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnzd 9179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
96, 8fzfigd 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
10 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
119, 10fihasheqf1od 10543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  ( `  A )
)
127nnnn0d 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
13 hashfz1 10536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  N )
1511, 14eqtr3d 2174 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `  A )  =  N )
1615oveq2d 5790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  A ) )  =  ( 1 ... N
) )
17 isoeq4 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( `  A
) )  =  ( 1 ... N )  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
195, 18mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
20 isof1o 5708 . . . . . 6  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
21 f1of 5367 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2219, 20, 213syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
23 nnuz 9368 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
247, 23eleqtrdi 2232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
25 eluzfz2 9819 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
2624, 25syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
2722, 26ffvelrnd 5556 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
284, 27sseldd 3098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
294sselda 3097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3019, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
31 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p ) )  =  p )
3230, 31sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p )
)  =  p )
33 f1ocnv 5380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
34 f1of 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
3530, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
3635ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N ) )
37 elfzle2 9815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  p )  <_  N )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( `' K `  p )  <_  N )
3919adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
40 fzssuz 9852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
41 uzssz 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
42 zssre 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4341, 42sstri 3106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4440, 43sstri 3106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
45 ressxr 7816 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
4644, 45sstri 3106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
4746a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
48 uzssz 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
4948, 42sstri 3106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5049, 45sstri 3106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR*
514, 50sstrdi 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
5251adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5326adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
54 leisorel 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  p )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  p ) )  <_  ( K `  N ) ) )
5539, 47, 52, 36, 53, 54syl122anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( `' K `  p )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  p ) )  <_  ( K `  N ) ) )
5638, 55mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p )
)  <_  ( K `  N ) )
5732, 56eqbrtrrd 3952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  <_  ( K `  N
) )
584, 48sstrdi 3109 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
5958sselda 3097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ZZ )
6048, 28sseldi 3095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6160adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
62 eluz 9346 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( K `  N ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( K `  N ) ) )
6457, 63mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  p )
)
65 elfzuzb 9807 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( p  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  p ) ) )
6629, 64, 65sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
6766ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
6867ssrdv 3103 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
691, 2, 3, 28, 68fproddccvg 11348 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq M (  x.  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
70 mulid2 7771 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
1  x.  m )  =  m )
7170adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  x.  m )  =  m )
72 mulid1 7770 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
7372adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  1 )  =  m )
74 mulcl 7754 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  x.  x
)  e.  CC )
7574adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  CC )
76 1cnd 7789 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7726, 16eleqtrrd 2219 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
78 eluzelz 9342 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  m  e.  ZZ )
79 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
802ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8180ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
82 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
8382nfel1 2292 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
84 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
8584eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
8683, 85rspc 2783 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
8779, 81, 86sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
88 1cnd 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  m  e.  A )  ->  1  e.  CC )
89 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
9089dcbid 823 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (DECID  k  e.  A  <-> DECID  m  e.  A )
)
913ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A )
9291adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A )
93 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9490, 92, 93rspcdva 2794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  A
)
9587, 88, 94ifcldadc 3501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
96 nfcv 2281 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
97 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ k  m  e.  A
98 nfcv 2281 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
1
9997, 82, 98nfif 3500 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )
10089, 84ifbieq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
10196, 99, 100, 1fvmptf 5513 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
10278, 95, 101syl2an2 583 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
103102, 95eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
104 prodmodclem2.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
105 breq1 3932 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  m  <_  ( `  A
) ) )
106 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
107106csbeq1d 3010 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
108105, 107ifbieq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( m  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
109 elnnuz 9369 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
110109biimpri 132 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN )
111110adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  NN )
11222ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
113 1zzd 9088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
1148ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
115 eluzelz 9342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  ZZ )
116115ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ZZ )
117113, 114, 1163jca 1161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )
)
118 eluzle 9345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  m )
119118ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  m )
120 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  ( `  A )
)
12115ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  =  N )
122120, 121breqtrd 3954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  N )
123119, 122jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  m  /\  m  <_  N ) )
124 elfz2 9804 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
125117, 123, 124sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... N ) )
126112, 125ffvelrnd 5556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( K `  m
)  e.  A )
12780ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
128 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B
129128nfel1 2292 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
130 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
131130eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
132129, 131rspc 2783 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
133126, 127, 132sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
134 1cnd 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  m  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  CC )
135111nnzd 9179 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  ZZ )
13615, 8eqeltrd 2216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
137136adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
138 zdcle 9134 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
139135, 137, 138syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
140133, 134, 139ifcldadc 3501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
m  <_  ( `  A
) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
141104, 108, 111, 140fvmptd3 5514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
142141, 140eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  e.  CC )
143 eldifi 3198 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  m  e.  ( M ... ( K `
 ( `  A
) ) ) )
144 elfzelz 9813 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  ->  m  e.  ZZ )
145143, 144syl 14 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  m  e.  ZZ )
146 eldifn 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
147146iffalsed 3484 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
148 ax-1cn 7720 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
149147, 148eqeltrdi 2230 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
150149adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
151145, 150, 101syl2an2 583 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
152147adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
153151, 152eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  1 )
154 elfzle2 9815 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
155154adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
156155iftrued 3481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
157 breq1 3932 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
158 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  ( K `  j )  =  ( K `  x ) )
159158csbeq1d 3010 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
160157, 159ifbieq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( j  =  x  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( x  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
161 elfznn 9841 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
162161adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  NN )
16322adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
164 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
16515adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( `  A )  =  N )
166165oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( `  A )
)  =  ( 1 ... N ) )
167164, 166eleqtrd 2218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... N ) )
168163, 167ffvelrnd 5556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
16980adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
170 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
171170nfel1 2292 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B  e.  CC
172 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
173172eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
174171, 173rspc 2783 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
175168, 169, 174sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B  e.  CC )
176156, 175eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
177104, 160, 162, 176fvmptd3 5514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
1784adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
179178, 48sstrdi 3109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A  C_  ZZ )
180179, 168sseldd 3098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
181168iftrued 3481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  = 
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
182181, 175eqeltrd 2216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
183 nfcv 2281 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( K `  x
)
184 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
185184, 170, 98nfif 3500 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )
186 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
187186, 172ifbieq1d 3494 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
188183, 185, 187, 1fvmptf 5513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
189180, 182, 188syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x ) )  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
190189, 181eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x ) )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
191156, 177, 1903eqtr4d 2182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
19271, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191seq3coll 10592 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
193 prodmodc.3 . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
1947, 7jca 304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1951, 2, 193, 104, 194, 10, 30prodmodclem3 11351 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
196192, 195eqtr4d 2175 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 N ) )
19769, 196breqtrd 3954 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003    \ cdif 3068    C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123    Isom wiso 5124  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   1c1 7628    x. cmul 7632   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808   NNcn 8727   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225  ♯chash 10528    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
This theorem is referenced by:  prodmodclem2  11353
  Copyright terms: Public domain W3C validator