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Theorem prodmodclem2a 11597
Description: Lemma for prodmodc 11599. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmodc.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmodclem2.4  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmodclem2a.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
prodmolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prodmolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
prodmolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
prodmolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j    k, F    j, G    j, K, k    j, M, k    j, N, k   
f, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( f, j)    A( f)    B( f, k)    F( f, j)    G( f, k)    H( f, j, k)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem prodmodclem2a
Dummy variables  p  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
2 prodmo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 prodmodclem2a.dc . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
4 prodmolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
5 prodmolem2.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
6 1zzd 9293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnzd 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
96, 8fzfigd 10444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
10 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
119, 10fihasheqf1od 10782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  ( `  A )
)
127nnnn0d 9242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
13 hashfz1 10776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  N )
1511, 14eqtr3d 2222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `  A )  =  N )
1615oveq2d 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  A ) )  =  ( 1 ... N
) )
17 isoeq4 5818 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( `  A
) )  =  ( 1 ... N )  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
195, 18mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
20 isof1o 5821 . . . . . 6  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
21 f1of 5473 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2219, 20, 213syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
23 nnuz 9576 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
247, 23eleqtrdi 2280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
25 eluzfz2 10045 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
2624, 25syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
2722, 26ffvelcdmd 5665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
284, 27sseldd 3168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
294sselda 3167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3019, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
31 f1ocnvfv2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p ) )  =  p )
3230, 31sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p )
)  =  p )
33 f1ocnv 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
34 f1of 5473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
3530, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
3635ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N ) )
37 elfzle2 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  p )  <_  N )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( `' K `  p )  <_  N )
3919adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
40 fzssuz 10078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
41 uzssz 9560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
42 zssre 9273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4341, 42sstri 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4440, 43sstri 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
45 ressxr 8014 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
4644, 45sstri 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
4746a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
48 uzssz 9560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
4948, 42sstri 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5049, 45sstri 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR*
514, 50sstrdi 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
5251adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5326adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
54 leisorel 10830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  p )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  p )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  p ) )  <_  ( K `  N ) ) )
5539, 47, 52, 36, 53, 54syl122anc 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( `' K `  p )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  p ) )  <_  ( K `  N ) ) )
5638, 55mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  p )
)  <_  ( K `  N ) )
5732, 56eqbrtrrd 4039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  <_  ( K `  N
) )
584, 48sstrdi 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
5958sselda 3167 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ZZ )
6048, 28sselid 3165 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6160adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
62 eluz 9554 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( K `  N ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( K `  N ) ) )
6457, 63mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  p )
)
65 elfzuzb 10032 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( p  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  p ) ) )
6629, 64, 65sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
6766ex 115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
6867ssrdv 3173 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
691, 2, 3, 28, 68fproddccvg 11593 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq M (  x.  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
70 mullid 7968 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
1  x.  m )  =  m )
7170adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  x.  m )  =  m )
72 mulrid 7967 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
7372adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  1 )  =  m )
74 mulcl 7951 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  x.  x
)  e.  CC )
7574adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  CC )
76 1cnd 7986 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7726, 16eleqtrrd 2267 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
78 eluzelz 9550 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  m  e.  ZZ )
79 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
802ralrimiva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8180ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
82 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
8382nfel1 2340 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
84 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
8584eleq1d 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
8683, 85rspc 2847 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
8779, 81, 86sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
88 1cnd 7986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  m  e.  A )  ->  1  e.  CC )
89 eleq1 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
9089dcbid 839 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (DECID  k  e.  A  <-> DECID  m  e.  A )
)
913ralrimiva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A )
9291adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A )
93 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9490, 92, 93rspcdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  A
)
9587, 88, 94ifcldadc 3575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
96 nfcv 2329 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
97 nfv 1538 . . . . . . . 8  |-  F/ k  m  e.  A
98 nfcv 2329 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
1
9997, 82, 98nfif 3574 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )
10089, 84ifbieq1d 3568 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
10196, 99, 100, 1fvmptf 5621 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
10278, 95, 101syl2an2 594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
103102, 95eqeltrd 2264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
104 prodmodclem2.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
105 breq1 4018 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  m  <_  ( `  A
) ) )
106 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
107106csbeq1d 3076 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
108105, 107ifbieq1d 3568 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( m  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
109 elnnuz 9577 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
110109biimpri 133 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN )
111110adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  NN )
11222ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
113 1zzd 9293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
1148ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
115 eluzelz 9550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  ZZ )
116115ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ZZ )
117113, 114, 1163jca 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )
)
118 eluzle 9553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  m )
119118ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  m )
120 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  ( `  A )
)
12115ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  =  N )
122120, 121breqtrd 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  N )
123119, 122jca 306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  m  /\  m  <_  N ) )
124 elfz2 10028 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
125117, 123, 124sylanbrc 417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... N ) )
126112, 125ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( K `  m
)  e.  A )
12780ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
128 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B
129128nfel1 2340 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
130 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
131130eleq1d 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
132129, 131rspc 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
133126, 127, 132sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
134 1cnd 7986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  m  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  CC )
135111nnzd 9387 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  ZZ )
13615, 8eqeltrd 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
137136adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
138 zdcle 9342 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
139135, 137, 138syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
140133, 134, 139ifcldadc 3575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
m  <_  ( `  A
) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
141104, 108, 111, 140fvmptd3 5622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
142141, 140eqeltrd 2264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  e.  CC )
143 eldifi 3269 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  m  e.  ( M ... ( K `
 ( `  A
) ) ) )
144 elfzelz 10038 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  ->  m  e.  ZZ )
145143, 144syl 14 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  m  e.  ZZ )
146 eldifn 3270 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
147146iffalsed 3556 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
148 ax-1cn 7917 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
149147, 148eqeltrdi 2278 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A ) ) )  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
150149adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
151145, 150, 101syl2an2 594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
152147adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
153151, 152eqtrd 2220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  1 )
154 elfzle2 10041 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
155154adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
156155iftrued 3553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
157 breq1 4018 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
158 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  ( K `  j )  =  ( K `  x ) )
159158csbeq1d 3076 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
160157, 159ifbieq1d 3568 . . . . . 6  |-  ( j  =  x  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( x  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
161 elfznn 10067 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
162161adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  NN )
16322adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
164 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
16515adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( `  A )  =  N )
166165oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( `  A )
)  =  ( 1 ... N ) )
167164, 166eleqtrd 2266 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... N ) )
168163, 167ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
16980adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
170 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
171170nfel1 2340 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B  e.  CC
172 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
173172eleq1d 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
174171, 173rspc 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
175168, 169, 174sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B  e.  CC )
176156, 175eqeltrd 2264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
177104, 160, 162, 176fvmptd3 5622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
1784adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
179178, 48sstrdi 3179 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A  C_  ZZ )
180179, 168sseldd 3168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
181168iftrued 3553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  = 
[_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
182181, 175eqeltrd 2264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
183 nfcv 2329 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( K `  x
)
184 nfv 1538 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
185184, 170, 98nfif 3574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )
186 eleq1 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
187186, 172ifbieq1d 3568 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 ) )
188183, 185, 187, 1fvmptf 5621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
189180, 182, 188syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x ) )  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
190189, 181eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x ) )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
191156, 177, 1903eqtr4d 2230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
19271, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191seq3coll 10835 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
193 prodmodc.3 . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
1947, 7jca 306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1951, 2, 193, 104, 194, 10, 30prodmodclem3 11596 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
196192, 195eqtr4d 2223 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 N ) )
19769, 196breqtrd 4041 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 835    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   [_csb 3069    \ cdif 3138    C_ wss 3141   ifcif 3546   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076   `'ccnv 4637   -->wf 5224   -1-1-onto->wf1o 5227   ` cfv 5228    Isom wiso 5229  (class class class)co 5888   CCcc 7822   RRcr 7823   1c1 7825    x. cmul 7829   RR*cxr 8004    < clt 8005    <_ cle 8006   NNcn 8932   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021    seqcseq 10458  ♯chash 10768    ~~> cli 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300
This theorem is referenced by:  prodmodclem2  11598  zproddc  11600
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