Theorem summodclem2a 12092

Description: Lemma for summodc 12094. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummolem2a.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isummolem2a.g	|- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
isummolem2a.h	|- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
summolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
summolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
summolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
summolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
summodclem2a	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   k, N, n   ph, k, n   k, M, n   B, n   k, F   k, K, n   f, k, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f)   G( f, k, n)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summodclem2a

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isummo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
2		isummo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		isummolem2a.dc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
4		summolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
5		summolem2.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
6		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		summolem2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10		summolem2.8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
11	9, 10	fihasheqf1od 11177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` A ) )
12		nnnn0 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		hashfz1 11171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
14	7, 12, 13	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	11, 14	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` A ) = N )
16	15	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
17		isoeq4 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
19	5, 18	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
20		isof1o 5986	. . . . . . 7 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
22		f1of 5619	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
24		nnuz 9908	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	7, 24	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		eluzfz2 10386	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
28	23, 27	ffvelcdmd 5818	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
29	4, 28	sseldd 3243	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
30	4	sselda 3242	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
31		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
32	21, 31	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
33		f1ocnv 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
34		f1of 5619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
35	21, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
36	35	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) )
37		elfzle2 10382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
39	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
40		fzssuz 10420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
41		uzssz 9892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
42		zssre 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
43	41, 42	sstri 3251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
44	40, 43	sstri 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
45		ressxr 8333	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
46	44, 45	sstri 3251	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
48	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
49		uzssz 9892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
50	49, 42	sstri 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
51	48, 50	sstrdi 3254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR )
52	51, 45	sstrdi 3254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR* )
53	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
54		leisorel 11234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
55	39, 47, 52, 36, 53, 54	syl122anc 1283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
56	38, 55	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) )
57	32, 56	eqbrtrrd 4138	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n <_ ( K ` N ) )
58		eluzelz 9881	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
59	30, 58	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
60		eluzelz 9881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
61	29, 60	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
62	61	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
63		eluz 9885	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
64	59, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
65	57, 64	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) )
66		elfzuzb 10372	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
67	30, 65, 66	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) )
68	67	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
69	68	ssrdv 3248	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
70	1, 2, 3, 29, 69	fsum3cvg 12089	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) )
71		addlid 8428	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 0 + m ) = m )
72	71	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 0 + m ) = m )
73		addrid 8427	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
74	73	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
75		addcl 8268	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m + x ) e. CC )
76	75	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m + x ) e. CC )
77		0cnd 8283	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
78	27, 16	eleqtrrd 2314	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
79		iftrue 3631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
81	80, 2	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
82	81	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
83	82	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
84		iffalse 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
85		0cn 8282	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
86	84, 85	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
87	86	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
88	3	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
89		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
91	83, 87, 90	mpjaodan 806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
92		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
93		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. k e. ( ZZ>= ` M ) )
94	4	ssneld 3244	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. k e. ( ZZ>= ` M ) -> -. k e. A ) )
95	92, 93, 94	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. k e. A )
96	95, 86	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
97		summolem2.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
98		eluzdc 9960	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> DECID k e. ( ZZ>= ` M ) )
99	97, 98	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> DECID k e. ( ZZ>= ` M ) )
100		exmiddc 844	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
101	99, 100	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
102	91, 96, 101	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
103	102, 1	fmptd 5836	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
104		eluzelz 9881	. . . . 5 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
105		ffvelcdm 5815	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
106	103, 104, 105	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
107		elnnuz 9909	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
108	107	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
109	108	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
110		isof1o 5986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
111		f1of 5619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
112	5, 110, 111	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> K : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
114		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> 1 e. ZZ )
115	15, 8	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
116	115	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
117		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
118	117	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> m e. ZZ )
119	114, 116, 118	3jca 1204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
120		eluzle 9884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
121	120	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> 1 <_ m )
122		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> m <_ N )
123	15	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( m <_ (♯ ` A ) <-> m <_ N ) )
124	123	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( m <_ (♯ ` A ) <-> m <_ N ) )
125	122, 124	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> m <_ (♯ ` A ) )
126	121, 125	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ (♯ ` A ) ) )
127		elfz2 10368	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ (♯ ` A ) ) ) )
128	119, 126, 127	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> m e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
129	113, 128	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( K ` m ) e. A )
130	129	iftrued 3633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
131	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
132	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
133	16	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( m e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> m e. ( 1 ... N ) ) )
134	133	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( m e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> m e. ( 1 ... N ) ) )
135	128, 134	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> m e. ( 1 ... N ) )
136	132, 135	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( K ` m ) e. A )
137	131, 136	sseldd 3243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( K ` m ) e. ( ZZ>= ` M ) )
138	49, 137	sselid 3240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> ( K ` m ) e. ZZ )
139	102	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. ZZ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
140	139	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> A. k e. ZZ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
141		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( K ` m ) e. A
142		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
143		nfcv 2386	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k 0
144	141, 142, 143	nfif 3655	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 )
145	144	nfel1 2397	. . . . . . . . . 10 |- F/ k if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
146		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( K ` m ) -> ( k e. A <-> ( K ` m ) e. A ) )
147		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
148	146, 147	ifbieq1d 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` m ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
149	148	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` m ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
150	145, 149	rspc 2917	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ` m ) e. ZZ -> ( A. k e. ZZ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
151	138, 140, 150	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> if ( ( K ` m ) e. A , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
152	130, 151	eqeltrrd 2312	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ N ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
153		0cnd 8283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ N ) -> 0 e. CC )
154	109	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
155	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
156		zdcle 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID m <_ N )
157	154, 155, 156	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ N )
158	152, 153, 157	ifcldadc 3656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
159		breq1 4117	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n <_ N <-> m <_ N ) )
160		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
161	160	csbeq1d 3148	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
162	159, 161	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
163		isummolem2a.h	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
164	162, 163	fvmptg 5758	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
165	109, 158, 164	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
166	165, 158	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
167		fveqeq2 5684	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
168		eldifi 3345	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) )
169		elfzelz 10378	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) -> k e. ZZ )
170	168, 169	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
171		eldifn 3346	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
172	171, 84	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
173	172, 85	eqeltrdi 2325	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
174	1	fvmpt2 5766	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
175	170, 173, 174	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
176	175, 172	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
177	167, 176	vtoclga 2883	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
178	177	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` (♯ ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
179	112	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
180	179	iftrued 3633	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
181	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
182	181, 179	sseldd 3243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
183		eluzelz 9881	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
184	182, 183	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
185		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ph )
186	185, 184	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ ) )
187		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ )
188		nfv 1577	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
189		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
190	188, 189, 143	nfif 3655	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 )
191	190	nfel1 2397	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
192	187, 191	nfim 1621	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
193		eleq1 2297	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. ZZ <-> ( K ` x ) e. ZZ ) )
194	193	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph /\ k e. ZZ ) <-> ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ ) ) )
195		eleq1 2297	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
196		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
197	195, 196	ifbieq1d 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
198	197	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
199	194, 198	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) <-> ( ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) ) )
200	192, 199, 102	vtoclg1f 2876	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. A -> ( ( ph /\ ( K ` x ) e. ZZ ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
201	179, 186, 200	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
202		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
203		csbeq1 3144	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
204	202, 203	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
205		nfcv 2386	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
206		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
207		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
208	206, 207, 143	nfif 3655	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
209		eleq1 2297	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
210		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
211	209, 210	ifbieq1d 3649	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
212	205, 208, 211	cbvmpt 4210	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
213	1, 212	eqtri 2255	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
214	204, 213	fvmptg 5758	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
215	184, 201, 214	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
216		elfznn 10409	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
217	216	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x e. NN )
218		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
219	218	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
220	15	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x <_ (♯ ` A ) <-> x <_ N ) )
221	220	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( x <_ (♯ ` A ) <-> x <_ N ) )
222	219, 221	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ N )
223	222	iftrued 3633	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
224	180, 201	eqeltrrd 2312	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
225	223, 224	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
226		breq1 4117	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> ( n <_ N <-> x <_ N ) )
227		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( K ` n ) = ( K ` x ) )
228	227	csbeq1d 3148	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
229	226, 228	ifbieq1d 3649	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
230	229, 163	fvmptg 5758	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( H ` x ) = if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
231	217, 225, 230	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = if ( x <_ N , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
232	231, 223	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
233	180, 215, 232	3eqtr4rd 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
234	72, 74, 76, 77, 5, 78, 4, 106, 166, 178, 233	seq3coll 11239	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
235	15, 7	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN )
236	235, 7	jca 306	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) e. NN /\ N e. NN ) )
237	16	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
238		f1oeq2 5608	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
239	237, 238	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
240	10, 239	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
241		isummolem2a.g	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
242	1, 2, 236, 240, 21, 241, 163	summodclem3 12091	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
243	15	fveq2d 5679	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
244	234, 242, 243	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
245	70, 244	breqtrd 4140	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   \ cdif 3211   C_ wss 3214   ifcif 3624   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Isom wiso 5358  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833  ♯chash 11163   ~~> cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  summodclem2  12093  zsumdc  12095