Theorem fsum3cvg 11179

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fisumcvg.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M   k, F

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsum3cvg

Dummy variables n z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. 2 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
2		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzelz 9359	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		seqex 10251	. . 3 |- seq M ( + , F ) e. _V
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. _V )
7		eqid 2140	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9355	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
10		eluzelz 9359	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ZZ )
12		iftrue 3484	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13	12	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
14		isummo.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
16	15	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
18		iffalse 3487	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
19		0cn 7782	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
20	18, 19	eqeltrdi 2231	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22		isummo.dc	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
23		exmiddc 822	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
25	17, 21, 24	mpjaod 708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
26		isummo.1	. . . . . . 7 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
27	26	fvmpt2 5512	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
28	11, 25, 27	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
29	28, 25	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
30	7, 9, 29	serf 10278	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
31	30, 2	ffvelrnd 5564	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` N ) e. CC )
32		addid1 7924	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
33	32	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
34	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
35		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
36	31	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` N ) e. CC )
37		elfzuz 9833	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
38		eluzelz 9359	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> m e. ZZ )
39	38	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
40		fisumcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
41	40	sseld 3101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. A -> m e. ( M ... N ) ) )
42		fznuz 9913	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( M ... N ) -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
43	41, 42	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. A -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
44	43	con2d 614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> -. m e. A ) )
45	44	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. m e. A )
46	39, 45	eldifd 3086	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ( ZZ \ A ) )
47		fveqeq2 5438	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
48		eldifi 3203	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> k e. ZZ )
49		eldifn 3204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> -. k e. A )
50	49, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
51	50, 19	eqeltrdi 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
52	48, 51, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
53	52, 50	eqtrd 2173	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
54	47, 53	vtoclga 2755	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
55	46, 54	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
56	37, 55	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
57	56	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
58		fveq2 5429	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
59	58	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
60	29	ralrimiva 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
61	60	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
62		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
63	59, 61, 62	rspcdva 2798	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
64		addcl 7769	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ z e. CC ) -> ( m + z ) e. CC )
65	64	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( m e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( m + z ) e. CC )
66	33, 34, 35, 36, 57, 63, 65	seq3id2 10313	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` N ) = ( seq M ( + , F ) ` n ) )
67	66	eqcomd 2146	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
68	1, 4, 6, 31, 67	climconst 11091	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   C_ wss 3076   ifcif 3479   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249   ~~> cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  summodclem2a  11182  fsum3cvg2  11195