Theorem lgslem4 13975

Description: Lemma for lgsfcl2 13978. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem4	|- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   P( x)   Z( x)

Proof of Theorem lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3255	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. Prime )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> A e. ZZ )
4		oddprm 12226	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
6		prmdvdsexp 12115	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> P || A ) )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> P || A ) )
8	7	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9		prmgt1 12099	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 < P )
11	10	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> 1 < P )
12		p1modz1 11769	. . . . 5 |- ( ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ 1 < P ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 1 )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 1 )
14	13	oveq1d 5880	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
15		1m1e0 8961	. . . 4 |- ( 1 - 1 ) = 0
16		lgslem2.z	. . . . . 6 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
17	16	lgslem2 13973	. . . . 5 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
18	17	simp2i 1007	. . . 4 |- 0 e. Z
19	15, 18	eqeltri 2248	. . 3 |- ( 1 - 1 ) e. Z
20	14, 19	eqeltrdi 2266	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
21		lgslem1 13972	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )
22		elpri 3612	. . . 4 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
23		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24		df-neg 8105	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
25	17	simp1i 1006	. . . . . . 7 |- -u 1 e. Z
26	24, 25	eqeltrri 2249	. . . . . 6 |- ( 0 - 1 ) e. Z
27	23, 26	eqeltrdi 2266	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
28		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
29		2m1e1 9010	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
30	17	simp3i 1008	. . . . . . 7 |- 1 e. Z
31	29, 30	eqeltri 2248	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) e. Z
32	28, 31	eqeltrdi 2266	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
33	27, 32	jaoi 716	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
34	21, 22, 33	3syl 17	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
35	34	3expa 1203	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
36		prmnn 12077	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
37	1, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
38	37	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. NN )
39		dvdsdc 11773	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID P || A )
40	38, 3, 39	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> DECID P || A )
41		exmiddc 836	. . 3 |- (DECID P || A -> ( P || A \/ -. P || A ) )
42	40, 41	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || A \/ -. P || A ) )
43	20, 35, 42	mpjaodan 798	1 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   {crab 2457   \ cdif 3124   {csn 3589   {cpr 3590   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966   <_ cle 7967   - cmin 8102   -ucneg 8103   / cdiv 8602   NNcn 8892   2c2 8943   ZZcz 9226   mod cmo 10292   ^cexp 10489   abscabs 10974   || cdvds 11762   Primecprime 12074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  13978