Theorem lgslem4 13504

Description: Lemma for lgsfcl2 13507. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem4	|- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   P( x)   Z( x)

Proof of Theorem lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3243	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. Prime )
3		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> A e. ZZ )
4		oddprm 12187	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
6		prmdvdsexp 12076	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> P || A ) )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> P || A ) )
8	7	biimpar 295	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9		prmgt1 12060	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 < P )
11	10	ad2antlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> 1 < P )
12		p1modz1 11730	. . . . 5 |- ( ( P || ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ 1 < P ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 1 )
13	8, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 1 )
14	13	oveq1d 5856	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
15		1m1e0 8922	. . . 4 |- ( 1 - 1 ) = 0
16		lgslem2.z	. . . . . 6 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
17	16	lgslem2 13502	. . . . 5 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
18	17	simp2i 997	. . . 4 |- 0 e. Z
19	15, 18	eqeltri 2238	. . 3 |- ( 1 - 1 ) e. Z
20	14, 19	eqeltrdi 2256	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
21		lgslem1 13501	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )
22		elpri 3598	. . . 4 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
23		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24		df-neg 8068	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
25	17	simp1i 996	. . . . . . 7 |- -u 1 e. Z
26	24, 25	eqeltrri 2239	. . . . . 6 |- ( 0 - 1 ) e. Z
27	23, 26	eqeltrdi 2256	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
28		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
29		2m1e1 8971	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
30	17	simp3i 998	. . . . . . 7 |- 1 e. Z
31	29, 30	eqeltri 2238	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) e. Z
32	28, 31	eqeltrdi 2256	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
33	27, 32	jaoi 706	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
34	21, 22, 33	3syl 17	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
35	34	3expa 1193	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )
36		prmnn 12038	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
37	1, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
38	37	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. NN )
39		dvdsdc 11734	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID P || A )
40	38, 3, 39	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> DECID P || A )
41		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID P || A -> ( P || A \/ -. P || A ) )
42	40, 41	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || A \/ -. P || A ) )
43	20, 35, 42	mpjaodan 788	1 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2447   \ cdif 3112   {csn 3575   {cpr 3576   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930   - cmin 8065   -ucneg 8066   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   ZZcz 9187   mod cmo 10253   ^cexp 10450   abscabs 10935   || cdvds 11723   Primecprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-phi 12139

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  13507