ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddprmge3 Unicode version

Theorem oddprmge3 11826
Description: An odd prime is greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddprmge3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )

Proof of Theorem oddprmge3
StepHypRef Expression
1 eldifi 3198 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
2 oddprmgt2 11825 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <  P )
3 3z 9095 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
43a1i 9 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  <  P )  ->  3  e.  ZZ )
5 prmz 11803 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  <  P )  ->  P  e.  ZZ )
7 df-3 8792 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
8 2z 9094 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
9 zltp1le 9120 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
108, 5, 9sylancr 410 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
1110biimpa 294 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  <  P )  ->  (
2  +  1 )  <_  P )
127, 11eqbrtrid 3963 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  <  P )  ->  3  <_  P )
134, 6, 123jca 1161 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  <  P )  ->  (
3  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  3  <_  P ) )
141, 2, 13syl2anc 408 . 2  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 3  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  3  <_  P ) )
15 eluz2 9344 . 2  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  3  <_  P ) )
1614, 15sylibr 133 1  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480    \ cdif 3068   {csn 3527   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    <_ cle 7813   2c2 8783   3c3 8784   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   Primecprime 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-prm 11800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator