Theorem elicopnf 9940

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	|- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7984	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elico2 9908	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
4		ltpnf 9751	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) -> B < +oo )
6	5	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
7		df-3an 980	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) )
9	3, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   +oocpnf 7963   RR*cxr 7965   < clt 7966   <_ cle 7967   [,)cico 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-ico 9865

This theorem is referenced by:  elrege0  9947  rexico  11198