ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicopnf Unicode version

Theorem elicopnf 9764
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7830 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elico2 9732 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
31, 2mpan2 421 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
4 ltpnf 9579 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  < +oo )
65pm4.71i 388 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
7 df-3an 964 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
86, 7bitr4i 186 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) )
93, 8syl6bbr 197 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   +oocpnf 7809   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   [,)cico 9685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-ico 9689
This theorem is referenced by:  elrege0  9771  rexico  11005
  Copyright terms: Public domain W3C validator