Theorem elicopnf 10182

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	|- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8215	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elico2 10150	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
4		ltpnf 9993	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) -> B < +oo )
6	5	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
7		df-3an 1004	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) )
9	3, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   +oocpnf 8194   RR*cxr 8196   < clt 8197   <_ cle 8198   [,)cico 10103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-ico 10107

This theorem is referenced by:  elrege0  10189  rexico  11753