Theorem elicopnf 10038

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	|- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8074	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elico2 10006	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
4		ltpnf 9849	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) -> B < +oo )
6	5	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
7		df-3an 982	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) )
9	3, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   +oocpnf 8053   RR*cxr 8055   < clt 8056   <_ cle 8057   [,)cico 9959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-ico 9963

This theorem is referenced by:  elrege0  10045  rexico  11368