Theorem elicopnf 10302

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	|- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8326	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elico2 10270	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) ) )
4		ltpnf 10113	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) -> B < +oo )
6	5	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
7		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A <_ B ) /\ B < +oo ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A <_ B ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B < +oo ) )
9	3, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. RR -> ( B e. ( A [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   +oocpnf 8305   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   [,)cico 10223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-ico 10227

This theorem is referenced by:  elrege0  10309  rexico  11906