ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicopnf GIF version

Theorem elicopnf 9781
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7841 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elico2 9749 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 422 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
4 ltpnf 9596 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
54adantr 274 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 < +∞)
65pm4.71i 389 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7 df-3an 965 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
86, 7bitr4i 186 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞))
93, 8syl6bbr 197 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  +∞cpnf 7820  *cxr 7822   < clt 7823  cle 7824  [,)cico 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-ico 9706
This theorem is referenced by:  elrege0  9788  rexico  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator