ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicopnf GIF version

Theorem elicopnf 9938
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7984 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elico2 9906 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
4 ltpnf 9749 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
54adantr 276 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 < +∞)
65pm4.71i 391 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7 df-3an 980 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
86, 7bitr4i 187 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞))
93, 8bitr4di 198 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cr 7785  +∞cpnf 7963  *cxr 7965   < clt 7966  cle 7967  [,)cico 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-ico 9863
This theorem is referenced by:  elrege0  9945  rexico  11197
  Copyright terms: Public domain W3C validator