Theorem rexico 11987

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	|- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   ph, j

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
2		pnfxr 8378	. . . 4 |- +oo e. RR*
3		icossre 10356	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
5		ssrexv 3313	. . 3 |- ( ( B [,) +oo ) C_ RR -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
7		maxcl 11976	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
8	7	adantll 480	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
9		maxle1 11977	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
10	9	adantll 480	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
11		elicopnf 10371	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
12	11	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
13	8, 10, 12	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) )
14		simpllr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
15		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> j e. RR )
16		simpll 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> A C_ RR )
17	16	sselda 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
18		maxleastb 11980	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( B <_ k /\ j <_ k ) -> j <_ k )
21	19, 20	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> j <_ k ) )
22	21	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( j <_ k -> ph ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
23	22	ralimdva 2617	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
24		breq1 4133	. . . . . . . 8 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( n <_ k <-> sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
26	25	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
27	26	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) /\ A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) )
28	13, 23, 27	syl6an 1483	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
29	28	rexlimdva 2668	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
30		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( n <_ k <-> j <_ k ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( j <_ k -> ph ) ) )
32	31	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( n = j -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
33	32	cbvrexv 2787	. . 3 |- ( E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
34	29, 33	imbitrdi 161	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
35	6, 34	impbid 129	1 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   supcsup 7322   RRcr 8178   +oocpnf 8357   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361   [,)cico 10292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-ico 10296  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by: (None)