Theorem rexico 11232

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	|- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   ph, j

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
2		pnfxr 8012	. . . 4 |- +oo e. RR*
3		icossre 9956	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
5		ssrexv 3222	. . 3 |- ( ( B [,) +oo ) C_ RR -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
7		maxcl 11221	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
8	7	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
9		maxle1 11222	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
10	9	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
11		elicopnf 9971	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
13	8, 10, 12	mpbir2and 944	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) )
14		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> j e. RR )
16		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> A C_ RR )
17	16	sselda 3157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
18		maxleastb 11225	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( B <_ k /\ j <_ k ) -> j <_ k )
21	19, 20	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> j <_ k ) )
22	21	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( j <_ k -> ph ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
23	22	ralimdva 2544	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
24		breq1 4008	. . . . . . . 8 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( n <_ k <-> sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
26	25	ralbidv 2477	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
27	26	rspcev 2843	. . . . 5 |- ( ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) /\ A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) )
28	13, 23, 27	syl6an 1434	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
29	28	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
30		breq1 4008	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( n <_ k <-> j <_ k ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( j <_ k -> ph ) ) )
32	31	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( n = j -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
33	32	cbvrexv 2706	. . 3 |- ( E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
34	29, 33	imbitrdi 161	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
35	6, 34	impbid 129	1 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   {cpr 3595   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   supcsup 6983   RRcr 7812   +oocpnf 7991   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995   [,)cico 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-ico 9896  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by: (None)