ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 10933
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 7782 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 9677 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 407 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3130 . . 3  |-  ( ( B [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
7 maxcl 10922 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
87adantll 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 maxle1 10923 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
109adantll 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
11 elicopnf 9692 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1211ad2antlr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
138, 10, 12mpbir2and 911 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo ) )
14 simpllr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
15 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
16 simpll 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
18 maxleastb 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_  k ) ) )
1914, 15, 17, 18syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
20 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2119, 20syl6bi 162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2221imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2322ralimdva 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
24 breq1 3900 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( n  <_ 
k  <->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k ) )
2524imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
2625ralbidv 2412 . . . . . 6  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2726rspcev 2761 . . . . 5  |-  ( ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  /\  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph )
)  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
2813, 23, 27syl6an 1393 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) ) )
2928rexlimdva 2524 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
30 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3130imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3231ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3332cbvrexv 2630 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3429, 33syl6ib 160 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
356, 34impbid 128 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   {cpr 3496   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   supcsup 6835   RRcr 7583   +oocpnf 7761   RR*cxr 7763    < clt 7764    <_ cle 7765   [,)cico 9613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-ico 9617  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator