Theorem rexico 11747

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	|- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   ph, j

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
2		pnfxr 8210	. . . 4 |- +oo e. RR*
3		icossre 10162	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
5		ssrexv 3289	. . 3 |- ( ( B [,) +oo ) C_ RR -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
7		maxcl 11736	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
8	7	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
9		maxle1 11737	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
10	9	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
11		elicopnf 10177	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
13	8, 10, 12	mpbir2and 950	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) )
14		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> j e. RR )
16		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> A C_ RR )
17	16	sselda 3224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
18		maxleastb 11740	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( B <_ k /\ j <_ k ) -> j <_ k )
21	19, 20	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> j <_ k ) )
22	21	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( j <_ k -> ph ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
23	22	ralimdva 2597	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
24		breq1 4086	. . . . . . . 8 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( n <_ k <-> sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
26	25	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
27	26	rspcev 2907	. . . . 5 |- ( ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) /\ A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) )
28	13, 23, 27	syl6an 1476	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
29	28	rexlimdva 2648	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
30		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( n <_ k <-> j <_ k ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( j <_ k -> ph ) ) )
32	31	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( n = j -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
33	32	cbvrexv 2766	. . 3 |- ( E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
34	29, 33	imbitrdi 161	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
35	6, 34	impbid 129	1 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   supcsup 7160   RRcr 8009   +oocpnf 8189   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   [,)cico 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-ico 10102  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525

This theorem is referenced by: (None)