ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexico Unicode version

Theorem rexico 11225
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 8008 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 9952 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 413 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3220 . . 3  |-  ( ( B [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
7 maxcl 11214 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
87adantll 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 maxle1 11215 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
109adantll 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) )
11 elicopnf 9967 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
1211ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  <_  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  ) ) ) )
138, 10, 12mpbir2and 944 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo ) )
14 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
15 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
16 simpll 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
18 maxleastb 11218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( sup ( { B , 
j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_  k ) ) )
1914, 15, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
20 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2119, 20syl6bi 163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2221imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2322ralimdva 2544 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
24 breq1 4006 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( n  <_ 
k  <->  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k ) )
2524imbi1d 231 . . . . . . 7  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_ 
k  ->  ph ) ) )
2625ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( n  =  sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph ) ) )
2726rspcev 2841 . . . . 5  |-  ( ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,) +oo )  /\  A. k  e.  A  ( sup ( { B ,  j } ,  RR ,  <  )  <_  k  ->  ph )
)  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) )
2813, 23, 27syl6an 1434 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) ) )
2928rexlimdva 2594 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
30 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3130imbi1d 231 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3231ralbidv 2477 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3332cbvrexv 2704 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3429, 33syl6ib 161 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
356, 34impbid 129 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   {cpr 3593   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   supcsup 6980   RRcr 7809   +oocpnf 7987   RR*cxr 7989    < clt 7990    <_ cle 7991   [,)cico 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-ico 9892  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator