Theorem rexico 11163

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	|- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   ph, j

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
2		pnfxr 7951	. . . 4 |- +oo e. RR*
3		icossre 9890	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
4	1, 2, 3	sylancl 410	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( B [,) +oo ) C_ RR )
5		ssrexv 3207	. . 3 |- ( ( B [,) +oo ) C_ RR -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
7		maxcl 11152	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
8	7	adantll 468	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR )
9		maxle1 11153	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
10	9	adantll 468	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) )
11		elicopnf 9905	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
12	11	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. RR /\ B <_ sup ( { B , j } , RR , < ) ) ) )
13	8, 10, 12	mpbir2and 934	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) )
14		simpllr 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
15		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> j e. RR )
16		simpll 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> A C_ RR )
17	16	sselda 3142	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
18		maxleastb 11156	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k <-> ( B <_ k /\ j <_ k ) ) )
20		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( B <_ k /\ j <_ k ) -> j <_ k )
21	19, 20	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> j <_ k ) )
22	21	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( j <_ k -> ph ) -> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
23	22	ralimdva 2533	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
24		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( n <_ k <-> sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k ) )
25	24	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
26	25	ralbidv 2466	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { B , j } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) )
27	26	rspcev 2830	. . . . 5 |- ( ( sup ( { B , j } , RR , < ) e. ( B [,) +oo ) /\ A. k e. A ( sup ( { B , j } , RR , < ) <_ k -> ph ) ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) )
28	13, 23, 27	syl6an 1422	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) /\ j e. RR ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
29	28	rexlimdva 2583	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) ) )
30		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( n <_ k <-> j <_ k ) )
31	30	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( n <_ k -> ph ) <-> ( j <_ k -> ph ) ) )
32	31	ralbidv 2466	. . . 4 |- ( n = j -> ( A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
33	32	cbvrexv 2693	. . 3 |- ( E. n e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( n <_ k -> ph ) <-> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
34	29, 33	syl6ib 160	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) -> E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )
35	6, 34	impbid 128	1 |- ( ( A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( E. j e. ( B [,) +oo ) A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   {cpr 3577   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   supcsup 6947   RRcr 7752   +oocpnf 7930   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   [,)cico 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-ico 9830  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by: (None)