Theorem elioomnf 10089

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioomnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8128	. . 3 |- -oo e. RR*
2		elioo2 10042	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
4		an32 562	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
5		df-3an 982	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) )
6		mnflt 9904	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -oo < B )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> -oo < B )
8	7	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
9	4, 5, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) )
10	3, 9	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   RRcr 7923   -oocmnf 8104   RR*cxr 8105   < clt 8106   (,)cioo 10009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-ioo 10013

This theorem is referenced by:  reopnap  14989