Theorem elioomnf 10120

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioomnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8159	. . 3 |- -oo e. RR*
2		elioo2 10073	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
4		an32 562	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
5		df-3an 983	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) )
6		mnflt 9935	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -oo < B )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> -oo < B )
8	7	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
9	4, 5, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) )
10	3, 9	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962   RRcr 7954   -oocmnf 8135   RR*cxr 8136   < clt 8137   (,)cioo 10040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-ioo 10044

This theorem is referenced by:  reopnap  15103