Theorem elioomnf 9981

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioomnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8027	. . 3 |- -oo e. RR*
2		elioo2 9934	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
4		an32 562	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
5		df-3an 981	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) )
6		mnflt 9796	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -oo < B )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> -oo < B )
8	7	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
9	4, 5, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) )
10	3, 9	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823   -oocmnf 8003   RR*cxr 8004   < clt 8005   (,)cioo 9901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-ioo 9905

This theorem is referenced by:  reopnap  14278