Theorem elioomnf 9904

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioomnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem elioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 7955	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		elioo2 9857	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴)))
4		an32 552	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
5		df-3an 970	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴))
6		mnflt 9719	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → -∞ < 𝐵)
8	7	pm4.71i 389	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
9	4, 5, 8	3bitr4i 211	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴))
10	3, 9	bitrdi 195	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  -∞cmnf 7931  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933  (,)cioo 9824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-ioo 9828

This theorem is referenced by:  reopnap  13178