Theorem elioo2 10325

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 10319	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4134	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4133	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 477	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 2982	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 1013	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   RR*cxr 8359   < clt 8360   (,)cioo 10292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-ioo 10296

This theorem is used by:  eliooord  10332  elioopnf  10371  elioomnf  10372  dfrp2  10700  bl2ioo  15653  dedekindicc  15736  reeff1oleme  15875  reeff1o  15876  sin0pilem2  15886  pilem3  15887  sincosq1sgn  15930  sincosq2sgn  15931  sincosq3sgn  15932  sincosq4sgn  15933  sinq12gt0  15934  cosq14gt0  15936  cosq23lt0  15937  coseq0q4123  15938  coseq00topi  15939  coseq0negpitopi  15940  sincos6thpi  15946  cosordlem  15953  cos02pilt1  15955  cos0pilt1  15956  ioocosf1o  15958  iooref1o  17095  taupi  17135