Theorem elioo2 10306

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 10300	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4132	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4131	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 477	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 2982	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 1013	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   RRcr 8172   RR*cxr 8353   < clt 8354   (,)cioo 10273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-ioo 10277

This theorem is referenced by:  eliooord  10313  elioopnf  10352  elioomnf  10353  dfrp2  10681  bl2ioo  15634  dedekindicc  15717  reeff1oleme  15856  reeff1o  15857  sin0pilem2  15866  pilem3  15867  sincosq1sgn  15910  sincosq2sgn  15911  sincosq3sgn  15912  sincosq4sgn  15913  sinq12gt0  15914  cosq14gt0  15916  cosq23lt0  15917  coseq0q4123  15918  coseq00topi  15919  coseq0negpitopi  15920  sincos6thpi  15926  cosordlem  15933  cos02pilt1  15935  cos0pilt1  15936  ioocosf1o  15938  iooref1o  17057  taupi  17097