ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioo2 Unicode version

Theorem elioo2 9697
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 9691 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR  |  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) } )
21eleq2d 2207 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  C  e.  { x  e.  RR  | 
( A  <  x  /\  x  <  B ) } ) )
3 breq2 3928 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  <  x  <->  A  <  C ) )
4 breq1 3927 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  <  B  <->  C  <  B ) )
53, 4anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
65elrab 2835 . . 3  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
7 3anass 966 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
86, 7bitr4i 186 . 2  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) )
92, 8syl6bb 195 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   {crab 2418   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   RR*cxr 7792    < clt 7793   (,)cioo 9664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-ioo 9668
This theorem is referenced by:  eliooord  9704  elioopnf  9743  elioomnf  9744  bl2ioo  12700  dedekindicc  12769  sin0pilem2  12852  pilem3  12853  sincosq1sgn  12896  sincosq2sgn  12897  sincosq3sgn  12898  sincosq4sgn  12899  sinq12gt0  12900  cosq14gt0  12902  cosq23lt0  12903  coseq0q4123  12904  coseq00topi  12905  coseq0negpitopi  12906  sincos6thpi  12912  cosordlem  12919  cos02pilt1  12921  taupi  13228
  Copyright terms: Public domain W3C validator