Theorem elioopnf 10351

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8371	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elioo2 10305	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
4		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
5		ltpnf 10164	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) -> B < +oo )
7	6	pm4.71i 395	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
8	4, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) )
9	3, 8	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   RRcr 8171   +oocpnf 8350   RR*cxr 8352   < clt 8353   (,)cioo 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-ioo 10276

This theorem is referenced by:  reopnap  15573