Theorem elioopnf 9780

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7842	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elioo2 9734	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 422	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
4		df-3an 965	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
5		ltpnf 9597	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) -> B < +oo )
7	6	pm4.71i 389	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
8	4, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) )
9	3, 8	syl6bb 195	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   +oocpnf 7821   RR*cxr 7823   < clt 7824   (,)cioo 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-ioo 9705

This theorem is referenced by:  reopnap  12746