Theorem elioopnf 9969

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8012	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elioo2 9923	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) ) )
4		df-3an 980	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
5		ltpnf 9782	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < +oo )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) -> B < +oo )
7	6	pm4.71i 391	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A < B ) <-> ( ( B e. RR /\ A < B ) /\ B < +oo ) )
8	4, 7	bitr4i 187	. 2 |- ( ( B e. RR /\ A < B /\ B < +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) )
9	3, 8	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( A (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ A < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   +oocpnf 7991   RR*cxr 7993   < clt 7994   (,)cioo 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-ioo 9894

This theorem is referenced by:  reopnap  14077