ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioopnf GIF version

Theorem elioopnf 9278
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioopnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7441 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 9232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
4 df-3an 922 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5 ltpnf 9144 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
65adantr 270 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
76pm4.71i 383 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
84, 7bitr4i 185 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
93, 8syl6bb 194 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  cr 7250  +∞cpnf 7420  *cxr 7422   < clt 7423  (,)cioo 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-ioo 9203
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator