Theorem nninfsellemeq 15658

Description: Lemma for nninfsel 15661. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfsel.qk	|- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfsel.qn	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeq	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, k, n   Q, n, k, q   ph, i, n   i, q

Allowed substitution hints:   ph( k, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)   N( q)

Proof of Theorem nninfsellemeq

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 15657	. . . 4 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelcdmd 5698	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
7		fveq1 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
8	7	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
9	8	ralbidv 2497	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
10	9	ifbid 3582	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
11	10	mpteq2dv 4124	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
12		omex 4629	. . . . . . . 8 |- om e. _V
13	12	mptex 5788	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
14	11, 1, 13	fvmpt 5638	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n = j )
18		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> j e. N )
19	17, 18	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n e. N )
20		nnord 4648	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> Ord N )
21		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
22		ordelsuc 4541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. _V /\ Ord N ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
23	21, 22	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( Ord N -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
24	6, 20, 23	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> suc n C_ N )
27		nninfsel.qk	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29		ssralv 3247	. . . . . 6 |- ( suc n C_ N -> ( A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
30	26, 28, 29	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
31	30	iftrued 3568	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
32		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. N )
33	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> N e. om )
34		elnn 4642	. . . . 5 |- ( ( j e. N /\ N e. om ) -> j e. om )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. om )
36		1onn 6578	. . . . 5 |- 1o e. om
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> 1o e. om )
38	16, 31, 35, 37	fvmptd 5642	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
39	38	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. j e. N ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
40	21	sucid 4452	. . . . . . 7 |- n e. suc n
41	40	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n e. suc n )
42		1n0 6490	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
43	42	nesymi 2413	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n = N )
45	44	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. n <-> i e. N ) )
46	45	ifbid 3582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
47	46	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
48	47	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
49		nninfsel.qn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
51	48, 50	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
52	51	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
53	43, 52	mtbiri 676	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
54		elequ2 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( i e. k <-> i e. n ) )
55	54	ifbid 3582	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. n , 1o , (/) ) )
56	55	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
57	56	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58	57	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
59	58	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
60	59	rspcev 2868	. . . . . 6 |- ( ( n e. suc n /\ -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
61	41, 53, 60	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n = N ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
62		rexnalim 2486	. . . . 5 |- ( E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
63	61, 62	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64	63	iffalsed 3571	. . 3 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
65		peano1 4630	. . . 4 |- (/) e. om
66	65	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (/) e. om )
67	15, 64, 6, 66	fvmptd 5642	. 2 |- ( ph -> ( ( E ` Q ) ` N ) = (/) )
68	5, 6, 39, 67	nnnninfeq 7194	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   Ord word 4397   suc csuc 4400   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ^m cmap 6707  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-nninf 7186

This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  15659