Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemeq Unicode version

Theorem nninfsellemeq 13044
Description: Lemma for nninfsel 13047. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
nninfsel.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nninfsel.qk  |-  ( ph  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
nninfsel.qn  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, k, n    Q, n, k, q    ph, i, n    i, q
Allowed substitution hints:    ph( k, q)    Q( i)    E( i, k, n, q)    N( q)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
21nninfself 13043 . . . 4  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
32a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  E : ( 2o 
^m )
--> )
4 nninfsel.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
53, 4ffvelrnd 5522 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  e. )
6 nninfsel.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
7 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) ) )
87eqeq1d 2124 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
98ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
109ifbid 3461 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1110mpteq2dv 3987 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
12 omex 4475 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
1312mptex 5612 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V
1411, 1, 13fvmpt 5464 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( E `  Q
)  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
154, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
1615adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  ( E `  Q )  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
17 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
18 simplr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  -> 
j  e.  N )
1917, 18eqeltrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  n  e.  N )
20 nnord 4493 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
21 vex 2661 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
22 ordelsuc 4389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  _V  /\  Ord  N )  ->  (
n  e.  N  <->  suc  n  C_  N ) )
2321, 22mpan 418 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
N  ->  ( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N
) )
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N )
)
2524ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  -> 
( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N )
)
2619, 25mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  suc  n  C_  N )
27 nninfsel.qk . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2827ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
29 ssralv 3129 . . . . . 6  |-  ( suc  n  C_  N  ->  ( A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  A. k  e.  suc  n
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
3026, 28, 29sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3130iftrued 3449 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  if ( A. k  e. 
suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
32 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
336adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  N  e.  om )
34 elnn 4487 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  N  /\  N  e.  om )  ->  j  e.  om )
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  om )
36 1onn 6382 . . . . 5  |-  1o  e.  om
3736a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  1o  e.  om )
3816, 31, 35, 37fvmptd 5468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  (
( E `  Q
) `  j )  =  1o )
3938ralrimiva 2480 . 2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  N  ( ( E `  Q ) `  j
)  =  1o )
4021sucid 4307 . . . . . . 7  |-  n  e. 
suc  n
4140a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  n  e.  suc  n )
42 1n0 6295 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
4342nesymi 2329 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  =  1o
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
4544eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
i  e.  n  <->  i  e.  N ) )
4645ifbid 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
4746mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
4847fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5049adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5148, 50eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5251eqeq1d 2124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
5343, 52mtbiri 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
54 elequ2 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  n ) )
5554ifbid 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )
5655mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
5756fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
5857eqeq1d 2124 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5958notbid 639 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( -.  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6059rspcev 2761 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  suc  n  /\  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6141, 53, 60syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
62 rexnalim 2402 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6361, 62syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  -.  A. k  e.  suc  n
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6463iffalsed 3452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
65 peano1 4476 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6665a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
6715, 64, 6, 66fvmptd 5468 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Q ) `  N
)  =  (/) )
685, 6, 39, 67nninfalllemn 13036 1  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442    |-> cmpt 3957   Ord word 4252   suc csuc 4255   omcom 4472   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  13045
  Copyright terms: Public domain W3C validator