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Theorem nninfsellemeq 11861
Description: Lemma for nninfsel 11864. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
nninfsel.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nninfsel.qk  |-  ( ph  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
nninfsel.qn  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeq  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, k, n    Q, n, k, q    ph, i, n    i, q
Allowed substitution hints:    ph( k, q)    Q( i)    E( i, k, n, q)    N( q)

Proof of Theorem nninfsellemeq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . 5  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
21nninfself 11860 . . . 4  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
32a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  E : ( 2o 
^m )
--> )
4 nninfsel.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
53, 4ffvelrnd 5435 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  e. )
6 nninfsel.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
7 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) ) )
87eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
98ralbidv 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
109ifbid 3412 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1110mpteq2dv 3929 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
12 omex 4408 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
1312mptex 5523 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V
1411, 1, 13fvmpt 5381 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( E `  Q
)  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
154, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
1615adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  ( E `  Q )  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
17 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
18 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  -> 
j  e.  N )
1917, 18eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  n  e.  N )
20 nnord 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
21 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
22 ordelsuc 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  _V  /\  Ord  N )  ->  (
n  e.  N  <->  suc  n  C_  N ) )
2321, 22mpan 415 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
N  ->  ( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N
) )
246, 20, 233syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N )
)
2524ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  -> 
( n  e.  N  <->  suc  n  C_  N )
)
2619, 25mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  suc  n  C_  N )
27 nninfsel.qk . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2827ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
29 ssralv 3085 . . . . . 6  |-  ( suc  n  C_  N  ->  ( A. k  e.  N  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  A. k  e.  suc  n
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
3026, 28, 29sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3130iftrued 3400 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  N )  /\  n  =  j )  ->  if ( A. k  e. 
suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
32 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
336adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  N  e.  om )
34 elnn 4420 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  N  /\  N  e.  om )  ->  j  e.  om )
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  om )
36 1onn 6277 . . . . 5  |-  1o  e.  om
3736a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  1o  e.  om )
3816, 31, 35, 37fvmptd 5385 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  (
( E `  Q
) `  j )  =  1o )
3938ralrimiva 2446 . 2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  N  ( ( E `  Q ) `  j
)  =  1o )
4021sucid 4244 . . . . . . 7  |-  n  e. 
suc  n
4140a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  n  e.  suc  n )
42 1n0 6197 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
4342nesymi 2301 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  =  1o
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
4544eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
i  e.  n  <->  i  e.  N ) )
4645ifbid 3412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
4746mpteq2dv 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
4847fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
49 nninfsel.qn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5049adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5148, 50eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5251eqeq1d 2096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
5343, 52mtbiri 635 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
54 elequ2 1648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  n ) )
5554ifbid 3412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )
5655mpteq2dv 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
5756fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) ) )
5857eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5958notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( -.  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6059rspcev 2722 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  suc  n  /\  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6141, 53, 60syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
62 rexnalim 2370 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  suc  n  -.  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  n ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6361, 62syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  -.  A. k  e.  suc  n
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6463iffalsed 3403 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
65 peano1 4409 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6665a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
6715, 64, 6, 66fvmptd 5385 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Q ) `  N
)  =  (/) )
685, 6, 39, 67nninfalllemn 11853 1  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ifcif 3393    |-> cmpt 3899   Ord word 4189   suc csuc 4192   omcom 4405   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ^m cmap 6403  ℕxnninf 6787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6405  df-nninf 6789
This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  11862
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