Theorem nninfsellemeq 16740

Description: Lemma for nninfsel 16743. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfsel.qk	|- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfsel.qn	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeq	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, k, n   Q, n, k, q   ph, i, n   i, q

Allowed substitution hints:   ph( k, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)   N( q)

Proof of Theorem nninfsellemeq

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 16739	. . . 4 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelcdmd 5791	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
7		fveq1 5647	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
8	7	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
9	8	ralbidv 2533	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
10	9	ifbid 3631	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
11	10	mpteq2dv 4185	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
12		omex 4697	. . . . . . . 8 |- om e. _V
13	12	mptex 5890	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
14	11, 1, 13	fvmpt 5732	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n = j )
18		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> j e. N )
19	17, 18	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n e. N )
20		nnord 4716	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> Ord N )
21		vex 2806	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
22		ordelsuc 4609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. _V /\ Ord N ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
23	21, 22	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( Ord N -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
24	6, 20, 23	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> suc n C_ N )
27		nninfsel.qk	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29		ssralv 3292	. . . . . 6 |- ( suc n C_ N -> ( A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
30	26, 28, 29	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
31	30	iftrued 3616	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
32		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. N )
33	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> N e. om )
34		elnn 4710	. . . . 5 |- ( ( j e. N /\ N e. om ) -> j e. om )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. om )
36		1onn 6731	. . . . 5 |- 1o e. om
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> 1o e. om )
38	16, 31, 35, 37	fvmptd 5736	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
39	38	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. j e. N ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
40	21	sucid 4520	. . . . . . 7 |- n e. suc n
41	40	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n e. suc n )
42		1n0 6643	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
43	42	nesymi 2449	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n = N )
45	44	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. n <-> i e. N ) )
46	45	ifbid 3631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
47	46	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
48	47	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
49		nninfsel.qn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
51	48, 50	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
52	51	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
53	43, 52	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
54		elequ2 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( i e. k <-> i e. n ) )
55	54	ifbid 3631	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. n , 1o , (/) ) )
56	55	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
57	56	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58	57	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
59	58	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
60	59	rspcev 2911	. . . . . 6 |- ( ( n e. suc n /\ -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
61	41, 53, 60	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n = N ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
62		rexnalim 2522	. . . . 5 |- ( E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
63	61, 62	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64	63	iffalsed 3619	. . 3 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
65		peano1 4698	. . . 4 |- (/) e. om
66	65	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (/) e. om )
67	15, 64, 6, 66	fvmptd 5736	. 2 |- ( ph -> ( ( E ` Q ) ` N ) = (/) )
68	5, 6, 39, 67	nnnninfeq 7387	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ifcif 3607   |-> cmpt 4155   Ord word 4465   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7379

This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  16741