Theorem nninfsellemeq 13894

Description: Lemma for nninfsel 13897. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfsel.qk	|- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfsel.qn	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeq	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, k, n   Q, n, k, q   ph, i, n   i, q

Allowed substitution hints:   ph( k, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)   N( q)

Proof of Theorem nninfsellemeq

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 13893	. . . 4 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelrnd 5621	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
7		fveq1 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
8	7	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
9	8	ralbidv 2466	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
10	9	ifbid 3541	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
11	10	mpteq2dv 4073	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
12		omex 4570	. . . . . . . 8 |- om e. _V
13	12	mptex 5711	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
14	11, 1, 13	fvmpt 5563	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n = j )
18		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> j e. N )
19	17, 18	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> n e. N )
20		nnord 4589	. . . . . . . . 9 |- ( N e. om -> Ord N )
21		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
22		ordelsuc 4482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. _V /\ Ord N ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
23	21, 22	mpan 421	. . . . . . . . 9 |- ( Ord N -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
24	6, 20, 23	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> ( n e. N <-> suc n C_ N ) )
26	19, 25	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> suc n C_ N )
27		nninfsel.qk	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29		ssralv 3206	. . . . . 6 |- ( suc n C_ N -> ( A. k e. N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
30	26, 28, 29	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
31	30	iftrued 3527	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. N ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
32		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. N )
33	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> N e. om )
34		elnn 4583	. . . . 5 |- ( ( j e. N /\ N e. om ) -> j e. om )
35	32, 33, 34	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> j e. om )
36		1onn 6488	. . . . 5 |- 1o e. om
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> 1o e. om )
38	16, 31, 35, 37	fvmptd 5567	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
39	38	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ph -> A. j e. N ( ( E ` Q ) ` j ) = 1o )
40	21	sucid 4395	. . . . . . 7 |- n e. suc n
41	40	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n e. suc n )
42		1n0 6400	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
43	42	nesymi 2382	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
44		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n = N ) -> n = N )
45	44	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. n <-> i e. N ) )
46	45	ifbid 3541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
47	46	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
48	47	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
49		nninfsel.qn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
50	49	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
51	48, 50	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
52	51	eqeq1d 2174	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
53	43, 52	mtbiri 665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
54		elequ2 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( i e. k <-> i e. n ) )
55	54	ifbid 3541	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. n , 1o , (/) ) )
56	55	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
57	56	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
58	57	eqeq1d 2174	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
59	58	notbid 657	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
60	59	rspcev 2830	. . . . . 6 |- ( ( n e. suc n /\ -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
61	41, 53, 60	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n = N ) -> E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
62		rexnalim 2455	. . . . 5 |- ( E. k e. suc n -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
63	61, 62	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ n = N ) -> -. A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64	63	iffalsed 3530	. . 3 |- ( ( ph /\ n = N ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
65		peano1 4571	. . . 4 |- (/) e. om
66	65	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (/) e. om )
67	15, 64, 6, 66	fvmptd 5567	. 2 |- ( ph -> ( ( E ` Q ) ` N ) = (/) )
68	5, 6, 39, 67	nnnninfeq 7092	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085

This theorem is referenced by:  nninfsellemqall  13895