Theorem xpscf 13254

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6620	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
2		elnn 4662	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 2o /\ 2o e. om ) -> k e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( k e. 2o -> k e. om )
4		peano1 4650	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
5		nndceq 6598	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ (/) e. om ) -> DECID k = (/) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( k e. 2o -> DECID k = (/) )
7		ifiddc 3611	. . . . . . 7 |- (DECID k = (/) -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. 2o -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
9	8	eleq2d 2276	. . . . 5 |- ( k e. 2o -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
10	9	ralbiia 2521	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A )
11	10	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
12		df-3an 983	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
13		elixp2 6802	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
14		fnex 5819	. . . . . . 7 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ 2o e. om ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) )
17	16	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
19		ffnfv 5751	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A )
21		xpsfrnel2 13253	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )
22	20, 21	bitr3i 186	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   (/)c0 3464   ifcif 3575   {cpr 3639   <.cop 3641   omcom 4646   Fn wfn 5275   -->wf 5276   ` cfv 5280   1oc1o 6508   2oc2o 6509   X_cixp 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1o 6515  df-2o 6516  df-er 6633  df-ixp 6799  df-en 6841  df-fin 6843

This theorem is referenced by: (None)