Theorem xpscf 13212

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6609	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
2		elnn 4655	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 2o /\ 2o e. om ) -> k e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( k e. 2o -> k e. om )
4		peano1 4643	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
5		nndceq 6587	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ (/) e. om ) -> DECID k = (/) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( k e. 2o -> DECID k = (/) )
7		ifiddc 3606	. . . . . . 7 |- (DECID k = (/) -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. 2o -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
9	8	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( k e. 2o -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
10	9	ralbiia 2520	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A )
11	10	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
12		df-3an 983	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
13		elixp2 6791	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
14		fnex 5808	. . . . . . 7 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ 2o e. om ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) )
17	16	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
19		ffnfv 5740	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A )
21		xpsfrnel2 13211	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )
22	20, 21	bitr3i 186	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   ifcif 3571   {cpr 3634   <.cop 3636   omcom 4639   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272   1oc1o 6497   2oc2o 6498   X_cixp 6787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-1o 6504  df-2o 6505  df-er 6622  df-ixp 6788  df-en 6830  df-fin 6832

This theorem is referenced by: (None)