Theorem xpscf 13294

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6630	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
2		elnn 4672	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 2o /\ 2o e. om ) -> k e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( k e. 2o -> k e. om )
4		peano1 4660	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
5		nndceq 6608	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ (/) e. om ) -> DECID k = (/) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( k e. 2o -> DECID k = (/) )
7		ifiddc 3615	. . . . . . 7 |- (DECID k = (/) -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. 2o -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
9	8	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( k e. 2o -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
10	9	ralbiia 2522	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A )
11	10	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
12		df-3an 983	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
13		elixp2 6812	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
14		fnex 5829	. . . . . . 7 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ 2o e. om ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) )
17	16	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
19		ffnfv 5761	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A )
21		xpsfrnel2 13293	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )
22	20, 21	bitr3i 186	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   ifcif 3579   {cpr 3644   <.cop 3646   omcom 4656   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290   1oc1o 6518   2oc2o 6519   X_cixp 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by: (None)