Theorem xpscf 13611

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6767	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
2		elnn 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 2o /\ 2o e. om ) -> k e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( k e. 2o -> k e. om )
4		peano1 4721	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
5		nndceq 6745	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ (/) e. om ) -> DECID k = (/) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( k e. 2o -> DECID k = (/) )
7		ifiddc 3662	. . . . . . 7 |- (DECID k = (/) -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. 2o -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
9	8	eleq2d 2304	. . . . 5 |- ( k e. 2o -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
10	9	ralbiia 2558	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A )
11	10	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
12		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
13		elixp2 6950	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
14		fnex 5911	. . . . . . 7 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ 2o e. om ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) )
17	16	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
19		ffnfv 5840	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A )
21		xpsfrnel2 13610	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )
22	20, 21	bitr3i 186	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ifcif 3624   {cpr 3695   <.cop 3697   omcom 4717   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357   1oc1o 6653   2oc2o 6654   X_cixp 6946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by: (None)