Theorem xpscf 13380

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	|- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6667	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
2		elnn 4698	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 2o /\ 2o e. om ) -> k e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( k e. 2o -> k e. om )
4		peano1 4686	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
5		nndceq 6645	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ (/) e. om ) -> DECID k = (/) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( k e. 2o -> DECID k = (/) )
7		ifiddc 3638	. . . . . . 7 |- (DECID k = (/) -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. 2o -> if ( k = (/) , A , A ) = A )
9	8	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( k e. 2o -> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
10	9	ralbiia 2544	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) <-> A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A )
11	10	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
12		df-3an 1004	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
13		elixp2 6849	. . . 4 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
14		fnex 5861	. . . . . . 7 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ 2o e. om ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) )
17	16	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) <-> ( ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o ) /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. if ( k = (/) , A , A ) ) )
19		ffnfv 5793	. . 3 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } Fn 2o /\ A. k e. 2o ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } ` k ) e. A ) )
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A )
21		xpsfrnel2 13379	. 2 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , A ) <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )
22	20, 21	bitr3i 186	1 |- ( { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } : 2o --> A <-> ( X e. A /\ Y e. A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ifcif 3602   {cpr 3667   <.cop 3669   omcom 4682   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318   1oc1o 6555   2oc2o 6556   X_cixp 6845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-ixp 6846  df-en 6888  df-fin 6890

This theorem is referenced by: (None)