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Theorem nnaordi 6455
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
2 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
31, 2eleq12d 2228 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
43imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( B  e. 
om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C
) ) ) )
5 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
6 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eleq12d 2228 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
9 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eleq12d 2228 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eleq12d 2228 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
15 elnn 4565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
1615ancoms 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
17 nna0 6421 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
19 nna0 6421 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2114, 18, 203eltr4d 2241 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) )
22 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  om )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  om )
24 nnacl 6427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
2522, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
26 nnsucelsuc 6438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  (
( A  +o  y
)  e.  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  e.  suc  ( B  +o  y
) ) )
2816adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
29 nnon 4569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  On )
31 nnon 4569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
3231adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  On )
33 oasuc 6411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
3430, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
35 nnon 4569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
3635ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  On )
37 oasuc 6411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3836, 32, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3934, 38eleq12d 2228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
4027, 39bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
4140biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) )
4241ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
437, 10, 13, 21, 42finds2 4560 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x ) ) )
444, 43vtoclga 2778 . . . . . 6  |-  ( C  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
4544imp 123 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) )
4616adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
47 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  C  e.  om )
48 nnacom 6431 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  +o  C
)  =  ( C  +o  A ) )
4946, 47, 48syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  =  ( C  +o  A ) )
50 nnacom 6431 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5150ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5251adantrr 471 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  C )  =  ( C  +o  B ) )
5345, 49, 523eltr3d 2240 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
54533impb 1181 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
55543com12 1189 . 2  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
56553expia 1187 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   (/)c0 3394   Oncon0 4323   suc csuc 4325   omcom 4549  (class class class)co 5824    +o coa 6360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367
This theorem is referenced by:  nnaord  6456  nnmordi  6463  addclpi  7247  addnidpig  7256  archnqq  7337  prarloclemarch2  7339  prarloclemlt  7413
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