Theorem nnaordi 6561

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordi	|- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
2		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
3	1, 2	eleq12d 2264	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) <-> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) ) )
5		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
6		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eleq12d 2264	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) ) )
8		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
9		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eleq12d 2264	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o y ) e. ( B +o y ) ) )
11		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eleq12d 2264	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
14		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. B )
15		elnn 4638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
16	15	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. om )
17		nna0 6527	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) = A )
19		nna0 6527	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( B +o (/) ) = B )
21	14, 18, 20	3eltr4d 2277	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) )
22		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. om )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. om )
24		nnacl 6533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o y ) e. om )
26		nnsucelsuc 6544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
28	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
29		nnon 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> A e. On )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. On )
31		nnon 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> y e. On )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. On )
33		oasuc 6517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
35		nnon 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. om -> B e. On )
36	35	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. On )
37		oasuc 6517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
38	36, 32, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
39	34, 38	eleq12d 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
40	27, 39	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
41	40	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) ) )
43	7, 10, 13, 21, 42	finds2 4633	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) )
44	4, 43	vtoclga 2826	. . . . . 6 |- ( C e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) )
46	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
47		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> C e. om )
48		nnacom 6537	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
50		nnacom 6537	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
52	51	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
53	45, 49, 52	3eltr3d 2276	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
54	53	3impb 1201	. . 3 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
55	54	3com12 1209	. 2 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
56	55	3expia 1207	1 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3446   Oncon0 4394   suc csuc 4396   omcom 4622  (class class class)co 5918   +o coa 6466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473

This theorem is referenced by:  nnaord  6562  nnmordi  6569  addclpi  7387  addnidpig  7396  archnqq  7477  prarloclemarch2  7479  prarloclemlt  7553