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Theorem nnaordi 6487
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
2 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
31, 2eleq12d 2241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
43imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( B  e. 
om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C
) ) ) )
5 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
6 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eleq12d 2241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
9 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eleq12d 2241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eleq12d 2241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
15 elnn 4590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
1615ancoms 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
17 nna0 6453 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
19 nna0 6453 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2114, 18, 203eltr4d 2254 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) )
22 simprl 526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  om )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  om )
24 nnacl 6459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
2522, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
26 nnsucelsuc 6470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  (
( A  +o  y
)  e.  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  e.  suc  ( B  +o  y
) ) )
2816adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
29 nnon 4594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  On )
31 nnon 4594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
3231adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  On )
33 oasuc 6443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
3430, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
35 nnon 4594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
3635ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  On )
37 oasuc 6443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3836, 32, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3934, 38eleq12d 2241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
4027, 39bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
4140biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) )
4241ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
437, 10, 13, 21, 42finds2 4585 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x ) ) )
444, 43vtoclga 2796 . . . . . 6  |-  ( C  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
4544imp 123 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) )
4616adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
47 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  C  e.  om )
48 nnacom 6463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  +o  C
)  =  ( C  +o  A ) )
4946, 47, 48syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  =  ( C  +o  A ) )
50 nnacom 6463 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5150ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5251adantrr 476 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  C )  =  ( C  +o  B ) )
5345, 49, 523eltr3d 2253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
54533impb 1194 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
55543com12 1202 . 2  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
56553expia 1200 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   (/)c0 3414   Oncon0 4348   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853    +o coa 6392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399
This theorem is referenced by:  nnaord  6488  nnmordi  6495  addclpi  7289  addnidpig  7298  archnqq  7379  prarloclemarch2  7381  prarloclemlt  7455
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