Theorem nnaordi 6617

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordi	|- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
2		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
3	1, 2	eleq12d 2278	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) <-> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) ) )
5		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
6		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eleq12d 2278	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) ) )
8		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
9		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eleq12d 2278	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o y ) e. ( B +o y ) ) )
11		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eleq12d 2278	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
14		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. B )
15		elnn 4672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
16	15	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. om )
17		nna0 6583	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) = A )
19		nna0 6583	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( B +o (/) ) = B )
21	14, 18, 20	3eltr4d 2291	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) )
22		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. om )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. om )
24		nnacl 6589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o y ) e. om )
26		nnsucelsuc 6600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
28	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
29		nnon 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> A e. On )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. On )
31		nnon 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> y e. On )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. On )
33		oasuc 6573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
35		nnon 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. om -> B e. On )
36	35	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. On )
37		oasuc 6573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
38	36, 32, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
39	34, 38	eleq12d 2278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
40	27, 39	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
41	40	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) ) )
43	7, 10, 13, 21, 42	finds2 4667	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) )
44	4, 43	vtoclga 2844	. . . . . 6 |- ( C e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) )
46	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
47		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> C e. om )
48		nnacom 6593	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
50		nnacom 6593	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
52	51	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
53	45, 49, 52	3eltr3d 2290	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
54	53	3impb 1202	. . 3 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
55	54	3com12 1210	. 2 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
56	55	3expia 1208	1 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   (/)c0 3468   Oncon0 4428   suc csuc 4430   omcom 4656  (class class class)co 5967   +o coa 6522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529

This theorem is referenced by:  nnaord  6618  nnmordi  6625  addclpi  7475  addnidpig  7484  archnqq  7565  prarloclemarch2  7567  prarloclemlt  7641