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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnaordi | Unicode version |
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
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nnaordi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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2 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | eleq12d 2159 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | imbi2d 229 |
. . . . . . 7
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5 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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6 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | eleq12d 2159 |
. . . . . . . 8
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8 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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9 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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10 | 8, 9 | eleq12d 2159 |
. . . . . . . 8
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11 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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12 | oveq2 5674 |
. . . . . . . . 9
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13 | 11, 12 | eleq12d 2159 |
. . . . . . . 8
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14 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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15 | elnn 4433 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 15 | ancoms 265 |
. . . . . . . . . 10
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17 | nna0 6249 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | nna0 6249 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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21 | 14, 18, 20 | 3eltr4d 2172 |
. . . . . . . 8
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22 | simprl 499 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | nnacl 6255 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 22, 23, 24 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | nnsucelsuc 6266 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 25, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 16 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | nnon 4437 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | nnon 4437 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 31 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | oasuc 6239 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 30, 32, 33 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | nnon 4437 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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36 | 35 | ad2antrl 475 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | oasuc 6239 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 36, 32, 37 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 34, 38 | eleq12d 2159 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 27, 39 | bitr4d 190 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | biimpd 143 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | ex 114 |
. . . . . . . 8
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43 | 7, 10, 13, 21, 42 | finds2 4429 |
. . . . . . 7
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44 | 4, 43 | vtoclga 2686 |
. . . . . 6
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45 | 44 | imp 123 |
. . . . 5
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46 | 16 | adantl 272 |
. . . . . 6
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47 | simpl 108 |
. . . . . 6
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48 | nnacom 6259 |
. . . . . 6
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49 | 46, 47, 48 | syl2anc 404 |
. . . . 5
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50 | nnacom 6259 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | ancoms 265 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantrr 464 |
. . . . 5
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53 | 45, 49, 52 | 3eltr3d 2171 |
. . . 4
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54 | 53 | 3impb 1140 |
. . 3
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55 | 54 | 3com12 1148 |
. 2
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56 | 55 | 3expia 1146 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-iord 4202 df-on 4204 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-oadd 6199 |
This theorem is referenced by: nnaord 6282 nnmordi 6289 addclpi 6947 addnidpig 6956 archnqq 7037 prarloclemarch2 7039 prarloclemlt 7113 |
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