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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnaordi | Unicode version |
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
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nnaordi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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2 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | eleq12d 2248 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | imbi2d 230 |
. . . . . . 7
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5 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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6 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | eleq12d 2248 |
. . . . . . . 8
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8 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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9 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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10 | 8, 9 | eleq12d 2248 |
. . . . . . . 8
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11 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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12 | oveq2 5886 |
. . . . . . . . 9
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13 | 11, 12 | eleq12d 2248 |
. . . . . . . 8
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14 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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15 | elnn 4607 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 15 | ancoms 268 |
. . . . . . . . . 10
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17 | nna0 6478 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | nna0 6478 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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21 | 14, 18, 20 | 3eltr4d 2261 |
. . . . . . . 8
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22 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | nnacl 6484 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 22, 23, 24 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | nnsucelsuc 6495 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 25, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 16 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | nnon 4611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | nnon 4611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | oasuc 6468 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 30, 32, 33 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | nnon 4611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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36 | 35 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | oasuc 6468 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 36, 32, 37 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 34, 38 | eleq12d 2248 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 27, 39 | bitr4d 191 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | biimpd 144 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | ex 115 |
. . . . . . . 8
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43 | 7, 10, 13, 21, 42 | finds2 4602 |
. . . . . . 7
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44 | 4, 43 | vtoclga 2805 |
. . . . . 6
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45 | 44 | imp 124 |
. . . . 5
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46 | 16 | adantl 277 |
. . . . . 6
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47 | simpl 109 |
. . . . . 6
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48 | nnacom 6488 |
. . . . . 6
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49 | 46, 47, 48 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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50 | nnacom 6488 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | ancoms 268 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantrr 479 |
. . . . 5
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53 | 45, 49, 52 | 3eltr3d 2260 |
. . . 4
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54 | 53 | 3impb 1199 |
. . 3
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55 | 54 | 3com12 1207 |
. 2
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56 | 55 | 3expia 1205 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-irdg 6374 df-oadd 6424 |
This theorem is referenced by: nnaord 6513 nnmordi 6520 addclpi 7329 addnidpig 7338 archnqq 7419 prarloclemarch2 7421 prarloclemlt 7495 |
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