ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaordi Unicode version

Theorem nnaordi 6281
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
2 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
31, 2eleq12d 2159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
43imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( B  e. 
om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C
) ) ) )
5 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
6 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eleq12d 2159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
9 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eleq12d 2159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eleq12d 2159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
15 elnn 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
1615ancoms 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
17 nna0 6249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
19 nna0 6249 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2019adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2114, 18, 203eltr4d 2172 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) )
22 simprl 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  om )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  om )
24 nnacl 6255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
2522, 23, 24syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
26 nnsucelsuc 6266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  (
( A  +o  y
)  e.  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  e.  suc  ( B  +o  y
) ) )
2816adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
29 nnon 4437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  On )
31 nnon 4437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
3231adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  On )
33 oasuc 6239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
3430, 32, 33syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
35 nnon 4437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
3635ad2antrl 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  On )
37 oasuc 6239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3836, 32, 37syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3934, 38eleq12d 2159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
4027, 39bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
4140biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) )
4241ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
437, 10, 13, 21, 42finds2 4429 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x ) ) )
444, 43vtoclga 2686 . . . . . 6  |-  ( C  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
4544imp 123 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) )
4616adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
47 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  C  e.  om )
48 nnacom 6259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  +o  C
)  =  ( C  +o  A ) )
4946, 47, 48syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  =  ( C  +o  A ) )
50 nnacom 6259 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5150ancoms 265 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5251adantrr 464 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  C )  =  ( C  +o  B ) )
5345, 49, 523eltr3d 2171 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
54533impb 1140 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
55543com12 1148 . 2  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
56553expia 1146 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   (/)c0 3287   Oncon0 4199   suc csuc 4201   omcom 4418  (class class class)co 5666    +o coa 6192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199
This theorem is referenced by:  nnaord  6282  nnmordi  6289  addclpi  6947  addnidpig  6956  archnqq  7037  prarloclemarch2  7039  prarloclemlt  7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator