Theorem nnaordi 6487

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordi	|- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
2		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
3	1, 2	eleq12d 2241	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) <-> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) ) )
5		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
6		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eleq12d 2241	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) ) )
8		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
9		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eleq12d 2241	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o y ) e. ( B +o y ) ) )
11		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eleq12d 2241	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. B )
15		elnn 4590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
16	15	ancoms 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. om )
17		nna0 6453	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) = A )
19		nna0 6453	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( B +o (/) ) = B )
21	14, 18, 20	3eltr4d 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) )
22		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. om )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. om )
24		nnacl 6459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o y ) e. om )
26		nnsucelsuc 6470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
28	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
29		nnon 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> A e. On )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. On )
31		nnon 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> y e. On )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. On )
33		oasuc 6443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
35		nnon 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. om -> B e. On )
36	35	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. On )
37		oasuc 6443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
38	36, 32, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
39	34, 38	eleq12d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
40	27, 39	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
41	40	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) ) )
43	7, 10, 13, 21, 42	finds2 4585	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) )
44	4, 43	vtoclga 2796	. . . . . 6 |- ( C e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
45	44	imp 123	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) )
46	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
47		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> C e. om )
48		nnacom 6463	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
50		nnacom 6463	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
51	50	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
52	51	adantrr 476	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
53	45, 49, 52	3eltr3d 2253	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
54	53	3impb 1194	. . 3 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
55	54	3com12 1202	. 2 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
56	55	3expia 1200	1 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   Oncon0 4348   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399

This theorem is referenced by:  nnaord  6488  nnmordi  6495  addclpi  7289  addnidpig  7298  archnqq  7379  prarloclemarch2  7381  prarloclemlt  7455