Theorem nnaordi 6476

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordi	|- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
2		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
3	1, 2	eleq12d 2237	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) <-> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) ) )
5		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
6		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eleq12d 2237	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) ) )
8		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
9		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eleq12d 2237	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o y ) e. ( B +o y ) ) )
11		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eleq12d 2237	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. B )
15		elnn 4583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
16	15	ancoms 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. om )
17		nna0 6442	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) = A )
19		nna0 6442	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( B +o (/) ) = B )
21	14, 18, 20	3eltr4d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) )
22		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. om )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. om )
24		nnacl 6448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o y ) e. om )
26		nnsucelsuc 6459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
28	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
29		nnon 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> A e. On )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. On )
31		nnon 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> y e. On )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. On )
33		oasuc 6432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
35		nnon 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. om -> B e. On )
36	35	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. On )
37		oasuc 6432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
38	36, 32, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
39	34, 38	eleq12d 2237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
40	27, 39	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
41	40	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) ) )
43	7, 10, 13, 21, 42	finds2 4578	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) )
44	4, 43	vtoclga 2792	. . . . . 6 |- ( C e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
45	44	imp 123	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) )
46	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
47		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> C e. om )
48		nnacom 6452	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
50		nnacom 6452	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
51	50	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
52	51	adantrr 471	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
53	45, 49, 52	3eltr3d 2249	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
54	53	3impb 1189	. . 3 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
55	54	3com12 1197	. 2 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
56	55	3expia 1195	1 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   (/)c0 3409   Oncon0 4341   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   +o coa 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388

This theorem is referenced by:  nnaord  6477  nnmordi  6484  addclpi  7268  addnidpig  7277  archnqq  7358  prarloclemarch2  7360  prarloclemlt  7434