Theorem nnaordi 6412

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordi	|- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
2		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
3	1, 2	eleq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) <-> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) ) )
5		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
6		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eleq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) ) )
8		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
9		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eleq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o y ) e. ( B +o y ) ) )
11		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eleq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. B )
15		elnn 4527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
16	15	ancoms 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A e. om )
17		nna0 6378	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) = A )
19		nna0 6378	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( B +o (/) ) = B )
21	14, 18, 20	3eltr4d 2224	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o (/) ) e. ( B +o (/) ) )
22		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. om )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. om )
24		nnacl 6384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o y ) e. om )
26		nnsucelsuc 6395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
28	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
29		nnon 4531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> A e. On )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. On )
31		nnon 4531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> y e. On )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> y e. On )
33		oasuc 6368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
35		nnon 4531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. om -> B e. On )
36	35	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> B e. On )
37		oasuc 6368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
38	36, 32, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
39	34, 38	eleq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) e. suc ( B +o y ) ) )
40	27, 39	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) <-> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
41	40	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) )
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( ( A +o y ) e. ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) e. ( B +o suc y ) ) ) )
43	7, 10, 13, 21, 42	finds2 4523	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o x ) e. ( B +o x ) ) )
44	4, 43	vtoclga 2755	. . . . . 6 |- ( C e. om -> ( ( B e. om /\ A e. B ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
45	44	imp 123	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) e. ( B +o C ) )
46	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> A e. om )
47		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> C e. om )
48		nnacom 6388	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
50		nnacom 6388	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
51	50	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
52	51	adantrr 471	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
53	45, 49, 52	3eltr3d 2223	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( B e. om /\ A e. B ) ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
54	53	3impb 1178	. . 3 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
55	54	3com12 1186	. 2 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
56	55	3expia 1184	1 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368   Oncon0 4293   suc csuc 4295   omcom 4512  (class class class)co 5782   +o coa 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325

This theorem is referenced by:  nnaord  6413  nnmordi  6420  addclpi  7159  addnidpig  7168  archnqq  7249  prarloclemarch2  7251  prarloclemlt  7325