Theorem facnn2 10706

Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
facnn2	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )

Proof of Theorem facnn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnnn0 9214	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
2		facp1 10702	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		npcan1 8330	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	fveq2d 5517	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` N ) )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` N ) )
7	4	oveq2d 5887	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
10	1, 9	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   CCcc 7805   1c1 7808   + caddc 7810   x. cmul 7812   - cmin 8123   NNcn 8914   NN0cn0 9171   !cfa 10697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-seqfrec 10440  df-fac 10698

This theorem is referenced by:  bcn1  10730  bcm1k  10732  dvdsfac  11857