Theorem facnn2 9991

Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
facnn2	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )

Proof of Theorem facnn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnnn0 8626	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
2		facp1 9987	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	2	adantl 271	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		npcan1 7777	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	fveq2d 5260	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` N ) )
6	5	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` N ) )
7	4	oveq2d 5610	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
8	7	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2125	. 2 |- ( ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
10	1, 9	sylbi 119	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269   1c1 7272   + caddc 7274   x. cmul 7276   - cmin 7574   NNcn 8334   NN0cn0 8583   !cfa 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-iseq 9755  df-fac 9983

This theorem is referenced by:  bcn1  10015  bcm1k  10017  dvdsfac  10655