Theorem elfzom1elp1fzo 10408

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 10359	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
2		elfzuz2 10225	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3		elnn0uz 9760	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		zcn 9451	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5	4	anim1i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
6		elnnnn0 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> N e. NN )
8	7	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
9	3, 8	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
11	10	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12		1nn0 9385	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
14		nnnn0 9376	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
15		nnge1 9133	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
16	13, 14, 15	3jca 1201	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
17	11, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
18		elfz2nn0 10308	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. ( 0 ... N ) )
20		fzossrbm1 10371	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
22		fzossfz 10362	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
23	21, 22	sstrdi 3236	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
25	23, 24	jca 306	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
26		ssel2 3219	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
27		elfzubelfz 10232	. . . 4 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> N e. ( 0 ... N ) )
28	25, 26, 27	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
29	19, 28	jca 306	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
30		elfzodifsumelfzo 10407	. 2 |- ( ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
31	29, 24, 30	sylc 62	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   <_ cle 8182   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by: (None)