ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Unicode version

Theorem elfzom1elp1fzo 9991
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 9951 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
2 elfzuz2 9821 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
3 elnn0uz 9375 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4 zcn 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
54anim1i 338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
)
6 elnnnn0 9032 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
75, 6sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
87expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
93, 8sylbir 134 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
1110impcom 124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
12 1nn0 9005 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1312a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
14 nnnn0 8996 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
15 nnge1 8755 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
1613, 14, 153jca 1161 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
1711, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
18 elfz2nn0 9904 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  1  <_  N ) )
1917, 18sylibr 133 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ( 0 ... N ) )
20 fzossrbm1 9962 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ N ) )
2120adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
22 fzossfz 9954 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
2321, 22sstrdi 3109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N ) )
24 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
2523, 24jca 304 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
26 ssel2 3092 . . . 4  |-  ( ( ( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) )
27 elfzubelfz 9828 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2825, 26, 273syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2919, 28jca 304 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) )
30 elfzodifsumelfzo 9990 . 2  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
3129, 24, 30sylc 62 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    e. wcel 1480    C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    <_ cle 7813    - cmin 7945   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   ...cfz 9802  ..^cfzo 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator