Theorem elfzom1elp1fzo 10620

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 10570	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
2		elfzuz2 10433	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3		elnn0uz 9960	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		zcn 9649	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5	4	anim1i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
6		elnnnn0 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> N e. NN )
8	7	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
9	3, 8	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
11	10	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12		1nn0 9579	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
14		nnnn0 9570	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
15		nnge1 9327	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
16	13, 14, 15	3jca 1208	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
17	11, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
18		elfz2nn0 10519	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. ( 0 ... N ) )
20		fzossrbm1 10582	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
22		fzossfz 10573	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
23	21, 22	sstrdi 3260	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
25	23, 24	jca 306	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
26		ssel2 3243	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
27		elfzubelfz 10440	. . . 4 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> N e. ( 0 ... N ) )
28	25, 26, 27	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
29	19, 28	jca 306	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
30		elfzodifsumelfzo 10619	. 2 |- ( ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
31	29, 24, 30	sylc 62	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  clwwlkccatlem  16641