ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Unicode version

Theorem elfzom1elp1fzo 9762
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 9722 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
2 elfzuz2 9592 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
3 elnn0uz 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4 zcn 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
54anim1i 334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
)
6 elnnnn0 8814 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
75, 6sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
87expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
93, 8sylbir 134 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
1110impcom 124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
12 1nn0 8787 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1312a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
14 nnnn0 8778 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
15 nnge1 8543 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
1613, 14, 153jca 1126 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
1711, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
18 elfz2nn0 9675 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  1  <_  N ) )
1917, 18sylibr 133 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ( 0 ... N ) )
20 fzossrbm1 9733 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ N ) )
2120adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
22 fzossfz 9725 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
2321, 22syl6ss 3051 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N ) )
24 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
2523, 24jca 301 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
26 ssel2 3034 . . . 4  |-  ( ( ( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) )
27 elfzubelfz 9599 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2825, 26, 273syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2919, 28jca 301 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) )
30 elfzodifsumelfzo 9761 . 2  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
3129, 24, 30sylc 62 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 927    e. wcel 1445    C_ wss 3013   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447   1c1 7448    + caddc 7450    <_ cle 7620    - cmin 7750   NNcn 8520   NN0cn0 8771   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573  ..^cfzo 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator