Theorem elfzom1elp1fzo 10333

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 10287	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
2		elfzuz2 10153	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3		elnn0uz 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		zcn 9379	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5	4	anim1i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
6		elnnnn0 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> N e. NN )
8	7	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
9	3, 8	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
11	10	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12		1nn0 9313	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
14		nnnn0 9304	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
15		nnge1 9061	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
16	13, 14, 15	3jca 1180	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
17	11, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
18		elfz2nn0 10236	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. ( 0 ... N ) )
20		fzossrbm1 10299	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
22		fzossfz 10290	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
23	21, 22	sstrdi 3205	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
25	23, 24	jca 306	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
26		ssel2 3188	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
27		elfzubelfz 10160	. . . 4 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> N e. ( 0 ... N ) )
28	25, 26, 27	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
29	19, 28	jca 306	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
30		elfzodifsumelfzo 10332	. 2 |- ( ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
31	29, 24, 30	sylc 62	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   <_ cle 8110   - cmin 8245   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132  ..^cfzo 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267

This theorem is referenced by: (None)