Theorem elfzom1elp1fzo 10510

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 10460	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
2		elfzuz2 10326	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3		elnn0uz 9855	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		zcn 9545	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5	4	anim1i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
6		elnnnn0 9504	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> N e. NN )
8	7	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
9	3, 8	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
11	10	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12		1nn0 9477	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
14		nnnn0 9468	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
15		nnge1 9225	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
16	13, 14, 15	3jca 1204	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
17	11, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
18		elfz2nn0 10409	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. ( 0 ... N ) )
20		fzossrbm1 10472	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
22		fzossfz 10463	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
23	21, 22	sstrdi 3240	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
25	23, 24	jca 306	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
26		ssel2 3223	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
27		elfzubelfz 10333	. . . 4 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> N e. ( 0 ... N ) )
28	25, 26, 27	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
29	19, 28	jca 306	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
30		elfzodifsumelfzo 10509	. 2 |- ( ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
31	29, 24, 30	sylc 62	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  16341