Theorem elnnnn0 9408

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9114	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 8520	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	2	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
4		peano2cnm 8408	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
6	3, 5	bitr3d 190	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
7		elnn0nn 9407	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ))
8	6, 7	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
9	1, 8	biadan2 456	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  1c1 7996   + caddc 7998   − cmin 8313  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10403  facnn2  10951