ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b Unicode version

Theorem elnnnn0b 8972
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 8935 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 nngt0 8702 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
31, 2jca 302 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN0  /\  0  <  N ) )
4 elnn0 8930 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
5 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
6 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  <->  0  <  0 ) )
7 0re 7730 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
87ltnri 7820 . . . . . . 7  |-  -.  0  <  0
98pm2.21i 618 . . . . . 6  |-  ( 0  <  0  ->  N  e.  NN )
106, 9syl6bi 162 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
115, 10jaoi 688 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  ->  N  e.  NN ) )
124, 11sylbi 120 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1312imp 123 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
143, 13impbii 125 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   0cc0 7584    < clt 7764   NNcn 8677   NN0cn0 8928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8678  df-n0 8929
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  8973  bccl2  10454  bezoutlemmain  11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator