Theorem elnnnn0b 9341

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9304	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nngt0 9063	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
4		elnn0 9299	. . . 4 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
5		ax-1 6	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
6		breq2 4049	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( 0 < N <-> 0 < 0 ) )
7		0re 8074	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8	7	ltnri 8167	. . . . . . 7 |- -. 0 < 0
9	8	pm2.21i 647	. . . . . 6 |- ( 0 < 0 -> N e. NN )
10	6, 9	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
11	5, 10	jaoi 718	. . . 4 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
12	4, 11	sylbi 121	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
13	12	imp 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 < N ) -> N e. NN )
14	3, 13	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   0cc0 7927   < clt 8109   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9342  bccl2  10915  ccatfv0  11062  bezoutlemmain  12352