Theorem elnnnn0b 9158

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9121	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nngt0 8882	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
4		elnn0 9116	. . . 4 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
5		ax-1 6	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
6		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( 0 < N <-> 0 < 0 ) )
7		0re 7899	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8	7	ltnri 7991	. . . . . . 7 |- -. 0 < 0
9	8	pm2.21i 636	. . . . . 6 |- ( 0 < 0 -> N e. NN )
10	6, 9	syl6bi 162	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
11	5, 10	jaoi 706	. . . 4 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
12	4, 11	sylbi 120	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
13	12	imp 123	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 < N ) -> N e. NN )
14	3, 13	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   0cc0 7753   < clt 7933   NNcn 8857   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9159  bccl2  10681  bezoutlemmain  11931