Theorem elnnnn0b 9045

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9008	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nngt0 8769	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
4		elnn0 9003	. . . 4 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
5		ax-1 6	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
6		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( 0 < N <-> 0 < 0 ) )
7		0re 7790	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8	7	ltnri 7880	. . . . . . 7 |- -. 0 < 0
9	8	pm2.21i 636	. . . . . 6 |- ( 0 < 0 -> N e. NN )
10	6, 9	syl6bi 162	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
11	5, 10	jaoi 706	. . . 4 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
12	4, 11	sylbi 120	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
13	12	imp 123	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 < N ) -> N e. NN )
14	3, 13	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   0cc0 7644   < clt 7824   NNcn 8744   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9046  bccl2  10546  bezoutlemmain  11722