ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b Unicode version

Theorem elnnnn0b 8687
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 8650 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 nngt0 8419 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
31, 2jca 300 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN0  /\  0  <  N ) )
4 elnn0 8645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
5 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
6 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  <->  0  <  0 ) )
7 0re 7467 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
87ltnri 7556 . . . . . . 7  |-  -.  0  <  0
98pm2.21i 610 . . . . . 6  |-  ( 0  <  0  ->  N  e.  NN )
106, 9syl6bi 161 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
115, 10jaoi 671 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  ->  N  e.  NN ) )
124, 11sylbi 119 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1312imp 122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
143, 13impbii 124 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   0cc0 7329    < clt 7501   NNcn 8394   NN0cn0 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-inn 8395  df-n0 8644
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  8688  bccl2  10141  bezoutlemmain  11080
  Copyright terms: Public domain W3C validator