ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b Unicode version

Theorem elnnnn0b 9251
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9214 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 nngt0 8975 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
31, 2jca 306 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN0  /\  0  <  N ) )
4 elnn0 9209 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
5 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
6 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  <->  0  <  0 ) )
7 0re 7988 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
87ltnri 8081 . . . . . . 7  |-  -.  0  <  0
98pm2.21i 647 . . . . . 6  |-  ( 0  <  0  ->  N  e.  NN )
106, 9biimtrdi 163 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
115, 10jaoi 717 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  ->  N  e.  NN ) )
124, 11sylbi 121 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1312imp 124 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
143, 13impbii 126 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   0cc0 7842    < clt 8023   NNcn 8950   NN0cn0 9207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-inn 8951  df-n0 9208
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9252  bccl2  10783  bezoutlemmain  12034
  Copyright terms: Public domain W3C validator