Theorem elnnnn0b 9310

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9273	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nngt0 9032	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
4		elnn0 9268	. . . 4 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
5		ax-1 6	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
6		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( 0 < N <-> 0 < 0 ) )
7		0re 8043	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8	7	ltnri 8136	. . . . . . 7 |- -. 0 < 0
9	8	pm2.21i 647	. . . . . 6 |- ( 0 < 0 -> N e. NN )
10	6, 9	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
11	5, 10	jaoi 717	. . . 4 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
12	4, 11	sylbi 121	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
13	12	imp 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 < N ) -> N e. NN )
14	3, 13	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   0cc0 7896   < clt 8078   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9311  bccl2  10877  bezoutlemmain  12190