Theorem elnnnn0b 9222

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9185	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nngt0 8946	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
4		elnn0 9180	. . . 4 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
5		ax-1 6	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
6		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( 0 < N <-> 0 < 0 ) )
7		0re 7959	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8	7	ltnri 8052	. . . . . . 7 |- -. 0 < 0
9	8	pm2.21i 646	. . . . . 6 |- ( 0 < 0 -> N e. NN )
10	6, 9	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
11	5, 10	jaoi 716	. . . 4 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
12	4, 11	sylbi 121	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
13	12	imp 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 < N ) -> N e. NN )
14	3, 13	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   0cc0 7813   < clt 7994   NNcn 8921   NN0cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-inn 8922  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9223  bccl2  10750  bezoutlemmain  12001