Theorem elrestr 12587

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	|- ( ( J e. V /\ S e. W /\ A e. J ) -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) )

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. . . 4 |- ( A i^i S ) = ( A i^i S )
2		ineq1 3321	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x i^i S ) = ( A i^i S ) )
3	2	rspceeqv 2852	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ ( A i^i S ) = ( A i^i S ) ) -> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) )
4	1, 3	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. J -> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) )
5		elrest 12586	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S e. W ) -> ( ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) <-> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) ) )
6	4, 5	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( J e. V /\ S e. W ) -> ( A e. J -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) ) )
7	6	3impia 1195	1 |- ( ( J e. V /\ S e. W /\ A e. J ) -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   i^i cin 3120  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-rest 12581

This theorem is referenced by:  restbasg  12962  tgrest  12963  resttopon  12965  cnrest  13029  lmss  13040