Theorem elrestr 13266

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 3398	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	rspceeqv 2925	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
4	1, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5		elrest 13265	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
6	4, 5	imbitrrid 156	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
7	6	3impia 1224	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ∩ cin 3196  (class class class)co 5994   ↾_t crest 13258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-rest 13260

This theorem is referenced by:  restbasg  14827  tgrest  14828  resttopon  14830  cnrest  14894  lmss  14905