Theorem elrestr 11812

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 3209	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	rspceeqv 2753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
4	1, 3	mpan2 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5		elrest 11811	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
6	4, 5	syl5ibr 155	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
7	6	3impia 1143	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371   ∩ cin 3012  (class class class)co 5690   ↾_t crest 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-rest 11806

This theorem is referenced by:  restbasg  12020  tgrest  12021  resttopon  12023  cnrest  12086  lmss  12097