Theorem elrpd 9817

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9779	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   RR+crp 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-rp 9778

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9884  mul2lt0np  9887  zltaddlt1le  10131  modqval  10471  ltexp2a  10738  leexp2a  10739  expnlbnd2  10812  nn0ltexp2  10856  resqrexlem1arp  11349  resqrexlemp1rp  11350  resqrexlemcalc2  11359  resqrexlemcalc3  11360  resqrexlemgt0  11364  resqrexlemglsq  11366  rpsqrtcl  11385  absrpclap  11405  rpmaxcl  11567  rpmincl  11582  xrminrpcl  11618  xrbdtri  11620  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  climge0  11669  divcnv  11841  georeclim  11857  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  cvgratnn  11875  cvgratz  11876  rpefcl  12029  efltim  12042  ef01bndlem  12100  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  pythagtriplem16  12635  bdmopn  15009  mulcncflem  15112  ivthinclemlopn  15141  ivthinclemuopn  15143  dveflem  15231  reeff1olem  15276  pilem3  15288  tanrpcl  15342  cosordlem  15354  rplogcl  15384  logdivlti  15386  cxplt  15421  cxple  15422  rpabscxpbnd  15445  ltexp2  15446  iooref1o  16010