ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrpd Unicode version

Theorem elrpd 9449
Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
elrpd.2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
elrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem elrpd
StepHypRef Expression
1 elrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 elrpd.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 elrp 9411 . 2  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
41, 2, 3sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768   RR+crp 9409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rab 2402  df-v 2662  df-un 3045  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-rp 9410
This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9515  mul2lt0np  9518  zltaddlt1le  9757  modqval  10065  ltexp2a  10313  leexp2a  10314  expnlbnd2  10385  resqrexlem1arp  10745  resqrexlemp1rp  10746  resqrexlemcalc2  10755  resqrexlemcalc3  10756  resqrexlemgt0  10760  resqrexlemglsq  10762  rpsqrtcl  10781  absrpclap  10801  rpmaxcl  10963  rpmincl  10977  xrminrpcl  11011  xrbdtri  11013  mulcn2  11049  reccn2ap  11050  climge0  11062  divcnv  11234  georeclim  11250  cvgratnnlembern  11260  cvgratnnlemsumlt  11265  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  cvgratnn  11268  cvgratz  11269  rpefcl  11318  efltim  11331  ef01bndlem  11390  bdmopn  12600  mulcncflem  12686  ivthinclemlopn  12710  ivthinclemuopn  12712  dveflem  12782  pilem3  12791  tanrpcl  12845  cosordlem  12857
  Copyright terms: Public domain W3C validator