Theorem elrpd 10073

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 10035	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   < clt 8350   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  10140  mul2lt0np  10143  zltaddlt1le  10389  modqval  10739  ltexp2a  11006  leexp2a  11007  expnlbnd2  11081  nn0ltexp2  11125  resqrexlem1arp  11749  resqrexlemp1rp  11750  resqrexlemcalc2  11759  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemgt0  11764  resqrexlemglsq  11766  rpsqrtcl  11785  absrpclap  11805  rpmaxcl  11967  rpmincl  11982  xrminrpcl  12018  xrbdtri  12020  mulcn2  12056  reccn2ap  12057  climge0  12069  divcnv  12242  georeclim  12258  cvgratnnlembern  12268  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratnnlemfm  12274  cvgratnnlemrate  12275  cvgratnn  12276  cvgratz  12277  rpefcl  12430  efltim  12443  ef01bndlem  12501  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem16  13036  bdmopn  15528  mulcncflem  15631  ivthinclemlopn  15660  ivthinclemuopn  15662  dveflem  15750  reeff1olem  15795  pilem3  15807  tanrpcl  15861  cosordlem  15873  rplogcl  15903  logdivlti  15905  cxplt  15941  cxple  15942  rpabscxpbnd  15965  ltexp2  15966  iooref1o  16988