Theorem elrpd 9066

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9031	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 408	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   class class class wbr 3811   RRcr 7252   0cc0 7253   < clt 7425   RR+crp 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rab 2362  df-v 2614  df-un 2988  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-rp 9030

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9318  modqval  9620  ltexp2a  9844  leexp2a  9845  expnlbnd2  9914  resqrexlem1arp  10265  resqrexlemp1rp  10266  resqrexlemcalc2  10275  resqrexlemcalc3  10276  resqrexlemgt0  10280  resqrexlemglsq  10282  rpsqrtcl  10301  absrpclap  10321  mulcn2  10525  climge0  10537