Theorem elrpd 9889

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9851	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   < clt 8181   RR+crp 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-rp 9850

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9956  mul2lt0np  9959  zltaddlt1le  10203  modqval  10546  ltexp2a  10813  leexp2a  10814  expnlbnd2  10887  nn0ltexp2  10931  resqrexlem1arp  11516  resqrexlemp1rp  11517  resqrexlemcalc2  11526  resqrexlemcalc3  11527  resqrexlemgt0  11531  resqrexlemglsq  11533  rpsqrtcl  11552  absrpclap  11572  rpmaxcl  11734  rpmincl  11749  xrminrpcl  11785  xrbdtri  11787  mulcn2  11823  reccn2ap  11824  climge0  11836  divcnv  12008  georeclim  12024  cvgratnnlembern  12034  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  cvgratnn  12042  cvgratz  12043  rpefcl  12196  efltim  12209  ef01bndlem  12267  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem16  12802  bdmopn  15178  mulcncflem  15281  ivthinclemlopn  15310  ivthinclemuopn  15312  dveflem  15400  reeff1olem  15445  pilem3  15457  tanrpcl  15511  cosordlem  15523  rplogcl  15553  logdivlti  15555  cxplt  15590  cxple  15591  rpabscxpbnd  15614  ltexp2  15615  iooref1o  16402