Theorem elrpd 9928

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9890	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8031   0cc0 8032   < clt 8214   RR+crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9995  mul2lt0np  9998  zltaddlt1le  10242  modqval  10587  ltexp2a  10854  leexp2a  10855  expnlbnd2  10928  nn0ltexp2  10972  resqrexlem1arp  11583  resqrexlemp1rp  11584  resqrexlemcalc2  11593  resqrexlemcalc3  11594  resqrexlemgt0  11598  resqrexlemglsq  11600  rpsqrtcl  11619  absrpclap  11639  rpmaxcl  11801  rpmincl  11816  xrminrpcl  11852  xrbdtri  11854  mulcn2  11890  reccn2ap  11891  climge0  11903  divcnv  12076  georeclim  12092  cvgratnnlembern  12102  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  cvgratnn  12110  cvgratz  12111  rpefcl  12264  efltim  12277  ef01bndlem  12335  pythagtriplem12  12866  pythagtriplem14  12868  pythagtriplem16  12870  bdmopn  15247  mulcncflem  15350  ivthinclemlopn  15379  ivthinclemuopn  15381  dveflem  15469  reeff1olem  15514  pilem3  15526  tanrpcl  15580  cosordlem  15592  rplogcl  15622  logdivlti  15624  cxplt  15659  cxple  15660  rpabscxpbnd  15683  ltexp2  15684  iooref1o  16689