Theorem elrpd 9989

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9951	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   < clt 8273   RR+crp 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-rp 9950

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  10056  mul2lt0np  10059  zltaddlt1le  10304  modqval  10649  ltexp2a  10916  leexp2a  10917  expnlbnd2  10990  nn0ltexp2  11034  resqrexlem1arp  11645  resqrexlemp1rp  11646  resqrexlemcalc2  11655  resqrexlemcalc3  11656  resqrexlemgt0  11660  resqrexlemglsq  11662  rpsqrtcl  11681  absrpclap  11701  rpmaxcl  11863  rpmincl  11878  xrminrpcl  11914  xrbdtri  11916  mulcn2  11952  reccn2ap  11953  climge0  11965  divcnv  12138  georeclim  12154  cvgratnnlembern  12164  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratnnlemfm  12170  cvgratnnlemrate  12171  cvgratnn  12172  cvgratz  12173  rpefcl  12326  efltim  12339  ef01bndlem  12397  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem16  12932  bdmopn  15315  mulcncflem  15418  ivthinclemlopn  15447  ivthinclemuopn  15449  dveflem  15537  reeff1olem  15582  pilem3  15594  tanrpcl  15648  cosordlem  15660  rplogcl  15690  logdivlti  15692  cxplt  15727  cxple  15728  rpabscxpbnd  15751  ltexp2  15752  iooref1o  16766