Theorem elrpd 9620

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9582	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   RRcr 7743   0cc0 7744   < clt 7924   RR+crp 9580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rab 2451  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-rp 9581

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9687  mul2lt0np  9690  zltaddlt1le  9934  modqval  10249  ltexp2a  10497  leexp2a  10498  expnlbnd2  10569  nn0ltexp2  10612  resqrexlem1arp  10933  resqrexlemp1rp  10934  resqrexlemcalc2  10943  resqrexlemcalc3  10944  resqrexlemgt0  10948  resqrexlemglsq  10950  rpsqrtcl  10969  absrpclap  10989  rpmaxcl  11151  rpmincl  11165  xrminrpcl  11201  xrbdtri  11203  mulcn2  11239  reccn2ap  11240  climge0  11252  divcnv  11424  georeclim  11440  cvgratnnlembern  11450  cvgratnnlemsumlt  11455  cvgratnnlemfm  11456  cvgratnnlemrate  11457  cvgratnn  11458  cvgratz  11459  rpefcl  11612  efltim  11625  ef01bndlem  11683  pythagtriplem12  12184  pythagtriplem14  12186  pythagtriplem16  12188  bdmopn  13045  mulcncflem  13131  ivthinclemlopn  13155  ivthinclemuopn  13157  dveflem  13228  reeff1olem  13233  pilem3  13245  tanrpcl  13299  cosordlem  13311  rplogcl  13341  logdivlti  13343  cxplt  13377  cxple  13378  rpabscxpbnd  13400  ltexp2  13401  iooref1o  13747