Theorem elrpd 10104

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 10066	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   RR+crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10065

This theorem is used by:  mul2lt0rgt0  10171  mul2lt0np  10174  zltaddlt1le  10420  modqval  10774  ltexp2a  11041  leexp2a  11042  expnlbnd2  11116  nn0ltexp2  11161  resqrexlem1arp  11785  resqrexlemp1rp  11786  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemgt0  11800  resqrexlemglsq  11802  rpsqrtcl  11821  absrpclap  11841  rpmaxcl  12004  rpmincl  12019  xrminrpcl  12056  xrbdtri  12058  mulcn2  12094  reccn2ap  12095  climge0  12107  divcnv  12280  georeclim  12296  cvgratnnlembern  12306  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  cvgratnn  12314  cvgratz  12315  rpefcl  12468  efltim  12481  ef01bndlem  12539  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  bdmopn  15654  mulcncflem  15757  ivthinclemlopn  15786  ivthinclemuopn  15788  dveflem  15876  reeff1olem  15921  pilem3  15934  tanrpcl  15988  cosordlem  16000  rplogcl  16031  logdivlti  16033  logdivlt  16046  logdivle  16047  cxplt  16071  cxple  16072  rpabscxpbnd  16095  ltexp2  16096  iooref1o  17181