ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrpd Unicode version

Theorem elrpd 9436
Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
elrpd.2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
elrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem elrpd
StepHypRef Expression
1 elrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 elrpd.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 elrp 9399 . 2  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
41, 2, 3sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768   RR+crp 9397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rab 2402  df-v 2662  df-un 3045  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-rp 9398
This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9502  mul2lt0np  9505  zltaddlt1le  9744  modqval  10052  ltexp2a  10300  leexp2a  10301  expnlbnd2  10372  resqrexlem1arp  10732  resqrexlemp1rp  10733  resqrexlemcalc2  10742  resqrexlemcalc3  10743  resqrexlemgt0  10747  resqrexlemglsq  10749  rpsqrtcl  10768  absrpclap  10788  rpmaxcl  10950  rpmincl  10964  xrminrpcl  10998  xrbdtri  11000  mulcn2  11036  reccn2ap  11037  climge0  11049  divcnv  11221  georeclim  11237  cvgratnnlembern  11247  cvgratnnlemsumlt  11252  cvgratnnlemfm  11253  cvgratnnlemrate  11254  cvgratnn  11255  cvgratz  11256  rpefcl  11305  efltim  11318  ef01bndlem  11377  bdmopn  12584  mulcncflem  12670  ivthinclemlopn  12694  ivthinclemuopn  12696  dveflem  12766  pilem3  12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator