ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negelrp Unicode version

Theorem negelrp 9656
Description: Elementhood of a negation in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
negelrp  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  A  <  0 ) )

Proof of Theorem negelrp
StepHypRef Expression
1 elrp 9624 . 2  |-  ( -u A  e.  RR+  <->  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) )
2 lt0neg1 8399 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
3 renegcl 8192 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
43biantrurd 305 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  -u A  <->  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) ) )
52, 4bitr2d 189 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A
)  <->  A  <  0
) )
61, 5bitrid 192 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  A  <  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2146   class class class wbr 3998   RRcr 7785   0cc0 7786    < clt 7966   -ucneg 8103   RR+crp 9622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-sub 8104  df-neg 8105  df-rp 9623
This theorem is referenced by:  negelrpd  9657
  Copyright terms: Public domain W3C validator