Theorem rpdivcl 9914

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9895	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpreap0 9907	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ B # 0 ) )
3		redivclap 8911	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
4	3	3expb 1230	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) -> ( A / B ) e. RR )
5	1, 2, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )
6		elrp 9890	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
7		elrp 9890	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
8		divgt0 9052	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A / B ) )
9	6, 7, 8	syl2anb 291	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A / B ) )
10		elrp 9890	. 2 |- ( ( A / B ) e. RR+ <-> ( ( A / B ) e. RR /\ 0 < ( A / B ) ) )
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   < clt 8214   # cap 8761   / cdiv 8852   RR+crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  rpreccl  9915  rphalfcl  9916  rpdivcld  9949  bcrpcl  11015  4sqlem12  12976  metss2lem  15223  metss2  15224  coseq0negpitopi  15562