Theorem rpdivcl 9917

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9898	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpreap0 9910	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ B # 0 ) )
3		redivclap 8914	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
4	3	3expb 1230	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) -> ( A / B ) e. RR )
5	1, 2, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )
6		elrp 9893	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
7		elrp 9893	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
8		divgt0 9055	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A / B ) )
9	6, 7, 8	syl2anb 291	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A / B ) )
10		elrp 9893	. 2 |- ( ( A / B ) e. RR+ <-> ( ( A / B ) e. RR /\ 0 < ( A / B ) ) )
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6021   RRcr 8034   0cc0 8035   < clt 8217   # cap 8764   / cdiv 8855   RR+crp 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-rp 9892

This theorem is referenced by:  rpreccl  9918  rphalfcl  9919  rpdivcld  9952  bcrpcl  11019  4sqlem12  12996  metss2lem  15248  metss2  15249  coseq0negpitopi  15587