Theorem rpdivcl 9757

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9738	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpreap0 9750	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ B # 0 ) )
3		redivclap 8761	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
4	3	3expb 1206	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ B # 0 ) ) -> ( A / B ) e. RR )
5	1, 2, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )
6		elrp 9733	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
7		elrp 9733	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
8		divgt0 8902	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A / B ) )
9	6, 7, 8	syl2anb 291	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A / B ) )
10		elrp 9733	. 2 |- ( ( A / B ) e. RR+ <-> ( ( A / B ) e. RR /\ 0 < ( A / B ) ) )
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   RRcr 7881   0cc0 7882   < clt 8064   # cap 8611   / cdiv 8702   RR+crp 9731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-rp 9732

This theorem is referenced by:  rpreccl  9758  rphalfcl  9759  rpdivcld  9792  bcrpcl  10848  4sqlem12  12582  metss2lem  14759  metss2  14760  coseq0negpitopi  15098