Theorem caucvgrelemcau 11661

Description: Lemma for caucvgre 11662. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   ph, k, n   k, r, n

Allowed substitution hints:   ph( r)   F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. NN )
2	1	nnred 9249	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. RR )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4	3	nnred 9249	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
5		ltle 8360	. . . . . 6 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
7		eluznn 9931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> k e. NN ) )
9		nnz 9595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
10		eluz1 9856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n <_ k ) -> n <_ k )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k ) )
14	8, 13	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
15		nnz 9595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) )
17	16, 11	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) ) )
18	14, 17	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
20	19	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
22	21	r19.21bi 2630	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
23	22	r19.21bi 2630	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	20, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
25	24	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <_ k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
26	6, 25	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
27		ltxrlt 8338	. . . . 5 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
28	2, 4, 27	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
31	30, 1	ffvelcdmd 5812	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	30, 3	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
33	1	nnrecred 9283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
34	32, 33	readdcld 8302	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
35		ltxrlt 8338	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
37		nnap0 9265	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n # 0 )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n # 0 )
39		caucvgrelemrec 11660	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. RR /\ n # 0 ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
40	2, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
41	40	oveq2d 6065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) )
42	41	breq2d 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
43	36, 42	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
44	31, 33	readdcld 8302	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
45		ltxrlt 8338	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
46	32, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
47	40	oveq2d 6065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) )
48	47	breq2d 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
49	46, 48	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
50	43, 49	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
51	26, 28, 50	3imtr3d 202	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
53	52	ralrimiva 2615	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   class class class wbr 4108   -->wf 5347   ` cfv 5351   iota_crio 6001  (class class class)co 6049   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   <RR cltrr 8130   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  caucvgre  11662