ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau Unicode version

Theorem caucvgrelemcau 10308
Description: Lemma for caucvgre 10309. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
caucvgre.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, n    ph, k, n    k, r, n
Allowed substitution hints:    ph( r)    F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
21nnred 8370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
3 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
43nnred 8370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
5 ltle 7516 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( n  <  k  ->  n  <_  k )
)
62, 4, 5syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  ->  n  <_  k ) )
7 eluznn 9019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
87ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  k  e.  NN ) )
9 nnz 8702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
10 eluz1 8955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  n  <_ 
k ) ) )
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  n  <_ 
k ) ) )
12 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  <_  k )  ->  n  <_  k )
1311, 12syl6bi 161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  n  <_  k ) )
148, 13jcad 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) ) )
15 nnz 8702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
1615anim1i 333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  n  <_  k )
)
1716, 11syl5ibr 154 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  n  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
1814, 17impbid 127 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  NN  /\  n  <_ 
k ) ) )
1918adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( k  e.  NN  /\  n  <_ 
k ) ) )
2019biimpar 291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  n ) )
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2221r19.21bi 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2322r19.21bi 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2420, 23syldan 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2524expr 367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <_  k  ->  ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
266, 25syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  ->  ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
27 ltxrlt 7496 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( n  <  k  <->  n 
<RR  k ) )
282, 4, 27syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  <->  n  <RR  k ) )
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3029ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> RR )
3130, 1ffvelrnd 5398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3230, 3ffvelrnd 5398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
331nnrecred 8403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3432, 33readdcld 7461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
35 ltxrlt 7496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
37 nnap0 8386 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n #  0 )
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n #  0 )
39 caucvgrelemrec 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  RR  /\  n #  0 )  ->  ( iota_ r  e.  RR  (
n  x.  r )  =  1 )  =  ( 1  /  n
) )
402, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( iota_ r  e.  RR  (
n  x.  r )  =  1 )  =  ( 1  /  n
) )
4140oveq2d 5629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  =  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) )
4241breq2d 3832 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4336, 42bitr4d 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) )
4431, 33readdcld 7461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
45 ltxrlt 7496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4632, 44, 45syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4740oveq2d 5629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  =  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) )
4847breq2d 3832 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( ( F `
 n )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4946, 48bitr4d 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) )
5043, 49anbi12d 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 n )  <RR  ( ( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k ) 
<RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
5126, 28, 503imtr3d 200 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
5251ralrimiva 2442 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( n  <RR  k  ->  ( ( F `
 n )  <RR  ( ( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k ) 
<RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
5352ralrimiva 2442 1  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   class class class wbr 3820   -->wf 4977   ` cfv 4981   iota_crio 5568  (class class class)co 5613   RRcr 7293   0cc0 7294   1c1 7295    + caddc 7297    <RR cltrr 7298    x. cmul 7299    < clt 7466    <_ cle 7467   # cap 7999    / cdiv 8078   NNcn 8357   ZZcz 8683   ZZ>=cuz 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-z 8684  df-uz 8952
This theorem is referenced by:  caucvgre  10309
  Copyright terms: Public domain W3C validator