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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > caucvgrelemcau | Unicode version |
Description: Lemma for caucvgre 10475. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.) |
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caucvgre.f |
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caucvgre.cau |
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caucvgrelemcau |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simplr 498 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | nnred 8496 |
. . . . . 6
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3 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | nnred 8496 |
. . . . . 6
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5 | ltle 7633 |
. . . . . 6
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6 | 2, 4, 5 | syl2anc 404 |
. . . . 5
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7 | eluznn 9148 |
. . . . . . . . . . . 12
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8 | 7 | ex 114 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | nnz 8830 |
. . . . . . . . . . . . 13
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10 | eluz1 9084 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 11, 12 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 8, 13 | jcad 302 |
. . . . . . . . . 10
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15 | nnz 8830 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 15 | anim1i 334 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 16, 11 | syl5ibr 155 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 14, 17 | impbid 128 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantl 272 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | biimpar 292 |
. . . . . . 7
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21 | caucvgre.cau |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | r19.21bi 2462 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | r19.21bi 2462 |
. . . . . . 7
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24 | 20, 23 | syldan 277 |
. . . . . 6
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25 | 24 | expr 368 |
. . . . 5
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26 | 6, 25 | syld 45 |
. . . 4
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27 | ltxrlt 7613 |
. . . . 5
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28 | 2, 4, 27 | syl2anc 404 |
. . . 4
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29 | caucvgre.f |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . 8
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31 | 30, 1 | ffvelrnd 5449 |
. . . . . . 7
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32 | 30, 3 | ffvelrnd 5449 |
. . . . . . . 8
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33 | 1 | nnrecred 8530 |
. . . . . . . 8
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34 | 32, 33 | readdcld 7578 |
. . . . . . 7
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35 | ltxrlt 7613 |
. . . . . . 7
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36 | 31, 34, 35 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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37 | nnap0 8512 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 1, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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39 | caucvgrelemrec 10473 |
. . . . . . . . 9
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40 | 2, 38, 39 | syl2anc 404 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | oveq2d 5682 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | breq2d 3863 |
. . . . . 6
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43 | 36, 42 | bitr4d 190 |
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44 | 31, 33 | readdcld 7578 |
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45 | ltxrlt 7613 |
. . . . . . 7
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46 | 32, 44, 45 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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47 | 40 | oveq2d 5682 |
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48 | 47 | breq2d 3863 |
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49 | 46, 48 | bitr4d 190 |
. . . . 5
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50 | 43, 49 | anbi12d 458 |
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51 | 26, 28, 50 | 3imtr3d 201 |
. . 3
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52 | 51 | ralrimiva 2447 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-sep 3963 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-fv 5036 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-z 8812 df-uz 9081 |
This theorem is referenced by: caucvgre 10475 |
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