Theorem caucvgrelemcau 10474

Description: Lemma for caucvgre 10475. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   ph, k, n   k, r, n

Allowed substitution hints:   ph( r)   F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. NN )
2	1	nnred 8496	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. RR )
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4	3	nnred 8496	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
5		ltle 7633	. . . . . 6 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
7		eluznn 9148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> k e. NN ) )
9		nnz 8830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
10		eluz1 9084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n <_ k ) -> n <_ k )
13	11, 12	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k ) )
14	8, 13	jcad 302	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
15		nnz 8830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
16	15	anim1i 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) )
17	16, 11	syl5ibr 155	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) ) )
18	14, 17	impbid 128	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
19	18	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
20	19	biimpar 292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
22	21	r19.21bi 2462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
23	22	r19.21bi 2462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	20, 23	syldan 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
25	24	expr 368	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <_ k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
26	6, 25	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
27		ltxrlt 7613	. . . . 5 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
28	2, 4, 27	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
30	29	ad2antrr 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
31	30, 1	ffvelrnd 5449	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	30, 3	ffvelrnd 5449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
33	1	nnrecred 8530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
34	32, 33	readdcld 7578	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
35		ltxrlt 7613	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 404	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
37		nnap0 8512	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n # 0 )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n # 0 )
39		caucvgrelemrec 10473	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. RR /\ n # 0 ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
40	2, 38, 39	syl2anc 404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
41	40	oveq2d 5682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) )
42	41	breq2d 3863	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
43	36, 42	bitr4d 190	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
44	31, 33	readdcld 7578	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
45		ltxrlt 7613	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
46	32, 44, 45	syl2anc 404	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
47	40	oveq2d 5682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) )
48	47	breq2d 3863	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
49	46, 48	bitr4d 190	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
50	43, 49	anbi12d 458	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
51	26, 28, 50	3imtr3d 201	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2447	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
53	52	ralrimiva 2447	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   class class class wbr 3851   -->wf 5024   ` cfv 5028   iota_crio 5621  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411   1c1 7412   + caddc 7414   <RR cltrr 7415   x. cmul 7416   < clt 7583   <_ cle 7584   # cap 8119   / cdiv 8200   NNcn 8483   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-z 8812  df-uz 9081

This theorem is referenced by:  caucvgre  10475