Theorem caucvgrelemcau 11499

Description: Lemma for caucvgre 11500. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   ph, k, n   k, r, n

Allowed substitution hints:   ph( r)   F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. NN )
2	1	nnred 9131	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. RR )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4	3	nnred 9131	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
5		ltle 8242	. . . . . 6 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
7		eluznn 9803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> k e. NN ) )
9		nnz 9473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
10		eluz1 9734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n <_ k ) -> n <_ k )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k ) )
14	8, 13	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
15		nnz 9473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) )
17	16, 11	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) ) )
18	14, 17	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
20	19	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
22	21	r19.21bi 2618	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
23	22	r19.21bi 2618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	20, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
25	24	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <_ k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
26	6, 25	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
27		ltxrlt 8220	. . . . 5 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
28	2, 4, 27	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
31	30, 1	ffvelcdmd 5773	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	30, 3	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
33	1	nnrecred 9165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
34	32, 33	readdcld 8184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
35		ltxrlt 8220	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
37		nnap0 9147	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n # 0 )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n # 0 )
39		caucvgrelemrec 11498	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. RR /\ n # 0 ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
40	2, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
41	40	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) )
42	41	breq2d 4095	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
43	36, 42	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
44	31, 33	readdcld 8184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
45		ltxrlt 8220	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
46	32, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
47	40	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) )
48	47	breq2d 4095	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
49	46, 48	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
50	43, 49	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
51	26, 28, 50	3imtr3d 202	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
53	52	ralrimiva 2603	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   -->wf 5314   ` cfv 5318   iota_crio 5959  (class class class)co 6007   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   <RR cltrr 8011   x. cmul 8012   < clt 8189   <_ cle 8190   # cap 8736   / cdiv 8827   NNcn 9118   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  caucvgre  11500