Theorem caucvgrelemcau 11545

Description: Lemma for caucvgre 11546. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   ph, k, n   k, r, n

Allowed substitution hints:   ph( r)   F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. NN )
2	1	nnred 9156	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n e. RR )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4	3	nnred 9156	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
5		ltle 8267	. . . . . 6 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> n <_ k ) )
7		eluznn 9834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> k e. NN ) )
9		nnz 9498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
10		eluz1 9759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n <_ k ) -> n <_ k )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k ) )
14	8, 13	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
15		nnz 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ n <_ k ) )
17	16, 11	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( k e. NN /\ n <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) ) )
18	14, 17	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( k e. NN /\ n <_ k ) ) )
20	19	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
22	21	r19.21bi 2620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
23	22	r19.21bi 2620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	20, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( k e. NN /\ n <_ k ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
25	24	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <_ k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
26	6, 25	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
27		ltxrlt 8245	. . . . 5 |- ( ( n e. RR /\ k e. RR ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
28	2, 4, 27	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n < k <-> n <RR k ) )
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
31	30, 1	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	30, 3	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
33	1	nnrecred 9190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
34	32, 33	readdcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
35		ltxrlt 8245	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
37		nnap0 9172	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n # 0 )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> n # 0 )
39		caucvgrelemrec 11544	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. RR /\ n # 0 ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
40	2, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) = ( 1 / n ) )
41	40	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) )
42	41	breq2d 4100	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
43	36, 42	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
44	31, 33	readdcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
45		ltxrlt 8245	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
46	32, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
47	40	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) = ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) )
48	47	breq2d 4100	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
49	46, 48	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) <-> ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) )
50	43, 49	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
51	26, 28, 50	3imtr3d 202	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
53	52	ralrimiva 2605	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   -->wf 5322   ` cfv 5326   iota_crio 5970  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   <RR cltrr 8036   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   # cap 8761   / cdiv 8852   NNcn 9143   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  caucvgre  11546