Theorem eluzadd 9494

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzadd	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9475	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		zaddcl 9231	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4		eluzel2 9471	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6	5	zred 9313	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
7	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
8	7	zred 9313	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
9		simpr 109	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9313	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
11		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
12		eluz1 9470	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
13	5, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
14	11, 13	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
15	14	simprd 113	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M <_ N )
16	6, 8, 10, 15	leadd1dd 8457	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
17	5, 9	zaddcld 9317	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
18		eluz1 9470	. . 3 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
20	3, 16, 19	mpbir2and 934	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   + caddc 7756   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  seq3shft2  10408  shftuz  10759  isumshft  11431