Theorem eluzadd 9347

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzadd	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9328	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		zaddcl 9087	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4		eluzel2 9324	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6	5	zred 9166	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
7	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
8	7	zred 9166	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
9		simpr 109	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9166	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
11		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
12		eluz1 9323	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
13	5, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
14	11, 13	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
15	14	simprd 113	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> M <_ N )
16	6, 8, 10, 15	leadd1dd 8314	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
17	5, 9	zaddcld 9170	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
18		eluz1 9323	. . 3 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
20	3, 16, 19	mpbir2and 928	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   + caddc 7616   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  seq3shft2  10239  shftuz  10582  isumshft  11252