Theorem eluz 9608

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9599	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 924	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  uzneg  9614  uztric  9617  uzm1  9626  eluzdc  9678  fzn  10111  fzsplit2  10119  fznn  10158  uzsplit  10161  elfz2nn0  10181  fzouzsplit  10249  exfzdc  10310  fzfig  10504  faclbnd  10815  seq3coll  10916  cvg1nlemcau  11131  cvg1nlemres  11132  summodclem2a  11527  fsum0diaglem  11586  mertenslemi1  11681  prodmodclem2a  11722  zsupcllemstep  12085  zsupcl  12087  infssuzex  12089  pcpremul  12434  pcdvdsb  12461  pcadd  12481  pcfac  12491  pcbc  12492  prmunb  12503  gsumfzval  12977  uzdcinzz  15360