Theorem eluz 9446

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9437	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 909	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5169   <_ cle 7907   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-ov 5824  df-neg 8043  df-z 9162  df-uz 9434

This theorem is referenced by:  uzneg  9451  uztric  9454  uzm1  9463  eluzdc  9514  fzn  9937  fzsplit2  9945  fznn  9984  uzsplit  9987  elfz2nn0  10007  fzouzsplit  10071  exfzdc  10132  fzfig  10322  faclbnd  10608  seq3coll  10706  cvg1nlemcau  10877  cvg1nlemres  10878  summodclem2a  11271  fsum0diaglem  11330  mertenslemi1  11425  prodmodclem2a  11466  zsupcllemstep  11824  zsupcl  11826  infssuzex  11828  uzdcinzz  13343