Theorem eluz 9535

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9526	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 923	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4001   ` cfv 5213   <_ cle 7987   ZZcz 9247   ZZ>=cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-ov 5873  df-neg 8125  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  uzneg  9540  uztric  9543  uzm1  9552  eluzdc  9604  fzn  10035  fzsplit2  10043  fznn  10082  uzsplit  10085  elfz2nn0  10105  fzouzsplit  10172  exfzdc  10233  fzfig  10423  faclbnd  10712  seq3coll  10813  cvg1nlemcau  10984  cvg1nlemres  10985  summodclem2a  11380  fsum0diaglem  11439  mertenslemi1  11534  prodmodclem2a  11575  zsupcllemstep  11936  zsupcl  11938  infssuzex  11940  pcpremul  12283  pcdvdsb  12309  pcadd  12329  pcfac  12338  pcbc  12339  prmunb  12350  uzdcinzz  14321