Theorem eluz 9950

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9940	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 935	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  uzneg  9956  uztric  9959  uzm1  9968  eluzdc  10025  fzn  10462  fzsplit2  10471  fzsplit3  10474  fznn  10512  uzsplit  10515  elfz2nn0  10535  fzouzsplit  10604  exfzdc  10675  zsupcllemstep  10678  zsupcl  10680  infssuzex  10682  infssfzcldc  10685  infssfzledc  10686  fzfig  10887  faclbnd  11200  seq3coll  11315  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  summodclem2a  12172  fsum0diaglem  12231  mertenslemi1  12326  prodmodclem2a  12367  pcpremul  13100  pcdvdsb  13127  pcadd  13147  pcfac  13157  pcbc  13158  prmunb  13169  ballotfilem2  13285  ballotfilemimin  13306  gzsumfzval  13769  chtublem  16312  bcmax  16322  bpos1lem  16326  bposlem1  16328  uzdcinzz  17048