Theorem eluz 9661

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9652	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 925	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  uzneg  9667  uztric  9670  uzm1  9679  eluzdc  9731  fzn  10164  fzsplit2  10172  fznn  10211  uzsplit  10214  elfz2nn0  10234  fzouzsplit  10303  exfzdc  10369  zsupcllemstep  10372  zsupcl  10374  infssuzex  10376  fzfig  10575  faclbnd  10886  seq3coll  10987  cvg1nlemcau  11295  cvg1nlemres  11296  summodclem2a  11692  fsum0diaglem  11751  mertenslemi1  11846  prodmodclem2a  11887  pcpremul  12616  pcdvdsb  12643  pcadd  12663  pcfac  12673  pcbc  12674  prmunb  12685  gsumfzval  13223  uzdcinzz  15734