Theorem eluz 9022

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9013	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 870	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   class class class wbr 3843   ` cfv 5010   <_ cle 7513   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-ov 5647  df-neg 7646  df-z 8741  df-uz 9010

This theorem is referenced by:  uzneg  9027  uztric  9030  uzm1  9039  eluzdc  9087  fzn  9446  fzsplit2  9454  fznn  9491  uzsplit  9494  elfz2nn0  9514  fzouzsplit  9578  exfzdc  9639  fzfig  9825  faclbnd  10137  iseqcoll  10235  cvg1nlemcau  10405  cvg1nlemres  10406  isummolem2a  10758  fsum0diaglem  10821  mertenslemi1  10916  zsupcllemstep  11206  zsupcl  11208  infssuzex  11210  uzdcinzz  11581