Theorem eluz 9944

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9934	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
2	1	baibd 935	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  uzneg  9950  uztric  9953  uzm1  9962  eluzdc  10019  fzn  10456  fzsplit2  10465  fzsplit3  10468  fznn  10506  uzsplit  10509  elfz2nn0  10529  fzouzsplit  10598  exfzdc  10669  zsupcllemstep  10672  zsupcl  10674  infssuzex  10676  infssfzcldc  10679  infssfzledc  10680  fzfig  10880  faclbnd  11193  seq3coll  11308  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  summodclem2a  12164  fsum0diaglem  12223  mertenslemi1  12318  prodmodclem2a  12359  pcpremul  13092  pcdvdsb  13119  pcadd  13139  pcfac  13149  pcbc  13150  prmunb  13161  ballotfilem2  13277  ballotfilemimin  13298  gzsumfzval  13760  bcmax  16203  bpos1lem  16207  bposlem1  16209  uzdcinzz  16924