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Theorem algcvga 11743
Description: The countdown function  C remains  0 after  N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1  |-  F : S
--> S
algcvga.2  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
algcvga.3  |-  C : S
--> NN0
algcvga.4  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
algcvga.5  |-  N  =  ( C `  A
)
Assertion
Ref Expression
algcvga  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, F    z, R    z, S
Allowed substitution hints:    A( z)    K( z)    N( z)

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3  |-  N  =  ( C `  A
)
2 algcvga.3 . . . 4  |-  C : S
--> NN0
32ffvelrni 5554 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  A )  e.  NN0 )
41, 3eqeltrid 2226 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  N  e.  NN0 )
5 nn0z 9086 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 eluz1 9342 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) ) )
7 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  N )
) )
87eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 ) )
98imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N )
)  =  0 ) ) )
10 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  k )
) )
1110eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  k ) )  =  0 ) )
1211imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 ) ) )
13 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) ) )
1413eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
1514imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
16 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  K )
) )
1716eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
1817imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
19 algcvga.1 . . . . . . . . 9  |-  F : S
--> S
20 algcvga.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
21 algcvga.4 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
2219, 20, 2, 21, 1algcvg 11740 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 )
2322a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 N ) )  =  0 ) )
24 nn0ge0 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  <_  N )
26 nn0re 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27 zre 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
28 0re 7778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
29 letr 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  0  <_  k
) )
3028, 29mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3126, 27, 30syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3225, 31mpand 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  0  <_  k )
)
33 elnn0z 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
3433simplbi2 382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  <_  k  ->  k  e.  NN0 ) )
3534adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
3632, 35syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
374, 36sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
3837impr 376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )
)  ->  k  e.  NN0 )
3938expcom 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 )
)
40393adant1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 ) )
4140ancld 323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 ) ) )
42 nn0uz 9372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
43 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  0  e.  ZZ )
44 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  S )
4519a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  F : S --> S )
4642, 20, 43, 44, 45algrf 11737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  R : NN0 --> S )
4746ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  k
)  e.  S )
48 2fveq3 5426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  ( F `  z ) )  =  ( C `  ( F `  ( R `  k ) ) ) )
4948neeq1d 2326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0 ) )
50 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  z )  =  ( C `  ( R `  k ) ) )
5148, 50breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z )  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) )
5249, 51imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( ( C `  ( F `  z ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) )  <->  ( ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) ) )
5352, 21vtoclga 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  < 
( C `  ( R `  k )
) ) )
5419, 2algcvgb 11742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  <->  ( (
( C `  ( R `  k )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) ) )
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  ( R `  k ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( C `
 ( R `  k ) )  =  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  =  0 ) )
5654, 55syl6bi 162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) )
5753, 56mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
5847, 57syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
5942, 20, 43, 44, 45algrp1 11738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  (
k  +  1 ) )  =  ( F `
 ( R `  k ) ) )
6059fveqeq2d 5429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =  0 ) )
6158, 60sylibrd 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
6241, 61syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( ( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
6362a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  (
k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
649, 12, 15, 18, 23, 63uzind 9174 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) )
65643expib 1184 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
666, 65sylbid 149 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) ) )
675, 66syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `
 ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
6867com3r 79 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
694, 68mpd 13 1  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   {csn 3527   class class class wbr 3929    X. cxp 4537    o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    <_ cle 7813   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338    seqcseq 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231
This theorem is referenced by:  algfx  11744  eucalgcvga  11750
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