Theorem algcvga 11460

Description: The countdown function C remains 0 after N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	|- F : S --> S
algcvga.2	|- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
algcvga.3	|- C : S --> NN0
algcvga.4	|- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
algcvga.5	|- N = ( C ` A )

Assertion

Ref	Expression
algcvga	|- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, F   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   K( z)   N( z)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 |- N = ( C ` A )
2		algcvga.3	. . . 4 |- C : S --> NN0
3	2	ffvelrni 5472	. . 3 |- ( A e. S -> ( C ` A ) e. NN0 )
4	1, 3	syl5eqel 2181	. 2 |- ( A e. S -> N e. NN0 )
5		nn0z 8868	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		eluz1 9122	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( K e. ZZ /\ N <_ K ) ) )
7		2fveq3 5345	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` N ) ) )
8	7	eqeq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
9	8	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) ) )
10		2fveq3 5345	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
11	10	eqeq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) )
12	11	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) ) )
13		2fveq3 5345	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) )
14	13	eqeq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
15	14	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
16		2fveq3 5345	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` K ) ) )
17	16	eqeq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
18	17	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
19		algcvga.1	. . . . . . . . 9 |- F : S --> S
20		algcvga.2	. . . . . . . . 9 |- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
21		algcvga.4	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
22	19, 20, 2, 21, 1	algcvg 11457	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 )
23	22	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
24		nn0ge0 8796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
25	24	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> 0 <_ N )
26		nn0re 8780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27		zre 8852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
28		0re 7585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
29		letr 7665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
30	28, 29	mp3an1 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
31	26, 27, 30	syl2an 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
32	25, 31	mpand 421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> 0 <_ k ) )
33		elnn0z 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
34	33	simplbi2 378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
35	34	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
36	32, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
37	4, 36	sylan 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. S /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
38	37	impr 372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) -> k e. NN0 )
39	38	expcom 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
40	39	3adant1 964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
41	40	ancld 319	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( A e. S /\ k e. NN0 ) ) )
42		nn0uz 9152	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
43		0zd 8860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> 0 e. ZZ )
44		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> A e. S )
45	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> F : S --> S )
46	42, 20, 43, 44, 45	algrf 11454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. S -> R : NN0 --> S )
47	46	ffvelrnda 5473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` k ) e. S )
48		2fveq3 5345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` ( F ` z ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
49	48	neeq1d 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 ) )
50		fveq2 5340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` z ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
51	48, 50	breq12d 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
52	49, 51	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) <-> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) ) )
53	52, 21	vtoclga 2699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
54	19, 2	algcvgb 11459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) <-> ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) ) )
55		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
56	54, 55	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) )
57	53, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
58	47, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
59	42, 20, 43, 44, 45	algrp1 11455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
60	59	fveqeq2d 5348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
61	58, 60	sylibrd 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
62	41, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
63	62	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 23, 63	uzind 8956	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
65	64	3expib 1149	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
66	6, 65	sylbid 149	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
67	5, 66	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
68	67	com3r 79	. 2 |- ( A e. S -> ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
69	4, 68	mpd 13	1 |- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   =/= wne 2262   {csn 3466   class class class wbr 3867   X. cxp 4465   o. ccom 4471   -->wf 5045   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   1stc1st 5947   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619   <_ cle 7620   NN0cn0 8771   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   seqcseq 10000

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-seqfrec 10001

This theorem is referenced by:  algfx  11461  eucalgcvga  11467