Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre Unicode version

Theorem caucvgre 10863
 Description: Convergence of real sequences. A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within of the nth term. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f
caucvgre.cau
Assertion
Ref Expression
caucvgre
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8818 . . . 4
2 caucvgre.f . . . 4
3 caucvgre.cau . . . . 5
42, 3caucvgrelemcau 10862 . . . 4
51, 2, 4ax-caucvg 7835 . . 3
6 ralrp 9564 . . . . 5
7 0re 7861 . . . . . . . 8
8 ltxrlt 7926 . . . . . . . 8
97, 8mpan 421 . . . . . . 7
109imbi1d 230 . . . . . 6
1110ralbiia 2471 . . . . 5
126, 11bitri 183 . . . 4
1312rexbii 2464 . . 3
145, 13sylibr 133 . 2
15 simpr 109 . . . . . . . . . 10
1615peano2nnd 8831 . . . . . . . . 9
17 uznnssnn 9471 . . . . . . . . 9
18 ssralv 3192 . . . . . . . . 9
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8
20 eluznn 9493 . . . . . . . . . . . . . 14
2116, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13
22 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322peano2nnd 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423nnzd 9268 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 eluz1 9426 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . 14
2827impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12
3029simprd 113 . . . . . . . . . . 11
31 nnre 8823 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433nnred 8829 . . . . . . . . . . . . . 14
35 1re 7860 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 ltadd1 8287 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36mp3an3 1308 . . . . . . . . . . . . . 14
3832, 34, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13
39 nnleltp1 9209 . . . . . . . . . . . . . 14
4023, 33, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 40bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12
4221, 41syldan 280 . . . . . . . . . . 11
4330, 42mpbird 166 . . . . . . . . . 10
44 nnre 8823 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 ltxrlt 7926 . . . . . . . . . . . . . . 15
4631, 44, 45syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14
4746adantll 468 . . . . . . . . . . . . 13
482ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948, 33ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 rpre 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5451, 53readdcld 7890 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ltxrlt 7926 . . . . . . . . . . . . . . 15
5649, 54, 55syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14
5749, 53readdcld 7890 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 ltxrlt 7926 . . . . . . . . . . . . . . 15
5951, 57, 58syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14
6056, 59anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . 13
6147, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12
6261biimprd 157 . . . . . . . . . . 11
6321, 62syldan 280 . . . . . . . . . 10
6443, 63mpid 42 . . . . . . . . 9
6564ralimdva 2524 . . . . . . . 8
6619, 65syld 45 . . . . . . 7
67 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
6867breq1d 3975 . . . . . . . . 9
6967oveq1d 5833 . . . . . . . . . 10
7069breq2d 3977 . . . . . . . . 9
7168, 70anbi12d 465 . . . . . . . 8
7271cbvralv 2680 . . . . . . 7
7366, 72syl6ib 160 . . . . . 6
7473reximdva 2559 . . . . 5
75 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
7675raleqdv 2658 . . . . . . . . 9
7776rspcev 2816 . . . . . . . 8
7816, 77sylan 281 . . . . . . 7
7978ex 114 . . . . . 6
8079rexlimdva 2574 . . . . 5
8174, 80syld 45 . . . 4
8281ralimdva 2524 . . 3
8382reximdva 2559 . 2
8414, 83mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436   wss 3102   class class class wbr 3965  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cr 7714  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cltrr 7719   clt 7895   cle 7896   cdiv 8528  cn 8816  cz 9150  cuz 9422  crp 9542 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10867
 Copyright terms: Public domain W3C validator