Theorem caucvgre 10863

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgre	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, j, x, y   k, F, i, x, y   n, F, k   ph, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, j)

Proof of Theorem caucvgre

Dummy variables m r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 8818	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2		caucvgre.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3		caucvgre.cau	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
4	2, 3	caucvgrelemcau 10862	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 4	ax-caucvg 7835	. . 3 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
6		ralrp 9564	. . . . 5 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
7		0re 7861	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8		ltxrlt 7926	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
9	7, 8	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
10	9	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
11	10	ralbiia 2471	. . . . 5 |- ( A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12	6, 11	bitri 183	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
13	12	rexbii 2464	. . 3 |- ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
14	5, 13	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
15		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
16	15	peano2nnd 8831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
17		uznnssnn 9471	. . . . . . . . 9 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN )
18		ssralv 3192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
20		eluznn 9493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
21	16, 20	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
22		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. NN )
23	22	peano2nnd 8831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
24	23	nnzd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
25		eluz1 9426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m + 1 ) e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
27	26	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
28	27	impancom 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. NN -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) )
30	29	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ k )
31		nnre 8823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR )
32	31	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. RR )
33		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
34	33	nnred 8829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
35		1re 7860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
36		ltadd1 8287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
38	32, 34, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
39		nnleltp1 9209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
40	23, 33, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
41	38, 40	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
42	21, 41	syldan 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
43	30, 42	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> m < k )
44		nnre 8823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. RR )
45		ltxrlt 7926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
46	31, 44, 45	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
47	46	adantll 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
48	2	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
49	48, 33	ffvelrnd 5600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
50		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> y e. RR )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> y e. RR )
52		rpre 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> x e. RR )
54	51, 53	readdcld 7890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y + x ) e. RR )
55		ltxrlt 7926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( y + x ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
56	49, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
57	49, 53	readdcld 7890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + x ) e. RR )
58		ltxrlt 7926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ ( ( F ` k ) + x ) e. RR ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
59	51, 57, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
60	56, 59	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
62	61	biimprd 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
63	21, 62	syldan 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
64	43, 63	mpid 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
65	64	ralimdva 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
66	19, 65	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
67		fveq2 5465	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
68	67	breq1d 3975	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` i ) < ( y + x ) ) )
69	67	oveq1d 5833	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` i ) + x ) )
70	69	breq2d 3977	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
71	68, 70	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
72	71	cbvralv 2680	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
73	66, 72	syl6ib 160	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
74	73	reximdva 2559	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
75		fveq2 5465	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
76	75	raleqdv 2658	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
77	76	rspcev 2816	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
78	16, 77	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
79	78	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
80	79	rexlimdva 2574	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
81	74, 80	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
82	81	ralimdva 2524	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
83	82	reximdva 2559	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
84	14, 83	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RRcr 7714   0cc0 7715   1c1 7716   + caddc 7718   <RR cltrr 7719   < clt 7895   <_ cle 7896   / cdiv 8528   NNcn 8816   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422   RR+crp 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10867