Theorem caucvgre 11621

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgre	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, j, x, y   k, F, i, x, y   n, F, k   ph, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, j)

Proof of Theorem caucvgre

Dummy variables m r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 9204	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2		caucvgre.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3		caucvgre.cau	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
4	2, 3	caucvgrelemcau 11620	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 4	ax-caucvg 8212	. . 3 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
6		ralrp 9971	. . . . 5 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
7		0re 8239	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8		ltxrlt 8304	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
9	7, 8	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
11	10	ralbiia 2547	. . . . 5 |- ( A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12	6, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
13	12	rexbii 2540	. . 3 |- ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
14	5, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
16	15	peano2nnd 9217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
17		uznnssnn 9872	. . . . . . . . 9 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN )
18		ssralv 3292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
20		eluznn 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
21	16, 20	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
22		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. NN )
23	22	peano2nnd 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
24	23	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
25		eluz1 9820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m + 1 ) e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
27	26	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
28	27	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. NN -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ k )
31		nnre 9209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR )
32	31	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. RR )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
34	33	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
35		1re 8238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
36		ltadd1 8668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
38	32, 34, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
39		nnleltp1 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
40	23, 33, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
41	38, 40	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
42	21, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
43	30, 42	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> m < k )
44		nnre 9209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. RR )
45		ltxrlt 8304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
46	31, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
47	46	adantll 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
48	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
49	48, 33	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
50		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> y e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> y e. RR )
52		rpre 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> x e. RR )
54	51, 53	readdcld 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y + x ) e. RR )
55		ltxrlt 8304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( y + x ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
56	49, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
57	49, 53	readdcld 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + x ) e. RR )
58		ltxrlt 8304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ ( ( F ` k ) + x ) e. RR ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
59	51, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
60	56, 59	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
62	61	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
63	21, 62	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
64	43, 63	mpid 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
65	64	ralimdva 2600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
66	19, 65	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
67		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
68	67	breq1d 4103	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` i ) < ( y + x ) ) )
69	67	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` i ) + x ) )
70	69	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
71	68, 70	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
72	71	cbvralv 2768	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
73	66, 72	imbitrdi 161	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
74	73	reximdva 2635	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
75		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
76	75	raleqdv 2737	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
77	76	rspcev 2911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
78	16, 77	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
79	78	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
80	79	rexlimdva 2651	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
81	74, 80	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
82	81	ralimdva 2600	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
83	82	reximdva 2635	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
84	14, 83	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <RR cltrr 8096   < clt 8273   <_ cle 8274   / cdiv 8911   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   RR+crp 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11625