ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre Unicode version

Theorem caucvgre 10746
Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within  1  /  n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
caucvgre.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgre  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    i, F, j, x, y    k, F, i, x, y    n, F, k    ph, k, n    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( i, j)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8715 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2 caucvgre.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3 caucvgre.cau . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
42, 3caucvgrelemcau 10745 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
51, 2, 4ax-caucvg 7733 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
6 ralrp 9456 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
7 0re 7759 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 ltxrlt 7823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <  x  <->  0 
<RR  x ) )
97, 8mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  0  <RR  x ) )
109imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )  <-> 
( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) ) )
1110ralbiia 2447 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR  (
0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
126, 11bitri 183 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
1312rexbii 2440 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
145, 13sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
15 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 8728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
17 uznnssnn 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  C_  NN )
18 ssralv 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )  C_  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
20 eluznn 9387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2116, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
22 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
2322peano2nnd 8728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
2423nnzd 9165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ZZ )
25 eluz1 9323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_  k )
) )
2726biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2827impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) )
3029simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  k
)
31 nnre 8720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
3231ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3433nnred 8726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
35 1re 7758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
36 ltadd1 8184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
m  <  k  <->  ( m  +  1 )  < 
( k  +  1 ) ) )
3735, 36mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( m  <  k  <->  ( m  +  1 )  <  ( k  +  1 ) ) )
3832, 34, 37syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <  (
k  +  1 ) ) )
39 nnleltp1 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  <_  k  <->  ( m  +  1 )  <  ( k  +  1 ) ) )
4023, 33, 39syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
k  <->  ( m  + 
1 )  <  (
k  +  1 ) ) )
4138, 40bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <_  k
) )
4221, 41syldan 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <_  k
) )
4330, 42mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  m  <  k
)
44 nnre 8720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
45 ltxrlt 7823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( m  <  k  <->  m 
<RR  k ) )
4631, 44, 45syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  <  k  <->  m 
<RR  k ) )
4746adantll 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  m  <RR  k ) )
482ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> RR )
4948, 33ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
50 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
52 rpre 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
5451, 53readdcld 7788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  +  x )  e.  RR )
55 ltxrlt 7823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( y  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( y  +  x
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( y  +  x ) ) )
5649, 54, 55syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( y  +  x
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( y  +  x ) ) )
5749, 53readdcld 7788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  +  x )  e.  RR )
58 ltxrlt 7823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( ( F `  k )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( y  < 
( ( F `  k )  +  x
)  <->  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
5951, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  < 
( ( F `  k )  +  x
)  <->  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
6056, 59anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  <->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
6147, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  <  k  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
6261biimprd 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
m  <  k  ->  ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
6321, 62syldan 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
m  <  k  ->  ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
6443, 63mpid 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
6564ralimdva 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
6619, 65syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  k )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  k
)  +  x ) ) ) )
67 fveq2 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
6867breq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  <->  ( F `  i )  <  (
y  +  x ) ) )
6967oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 i )  +  x ) )
7069breq2d 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
y  <  ( ( F `  k )  +  x )  <->  y  <  ( ( F `  i
)  +  x ) ) )
7168, 70anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  k
)  +  x ) )  <->  ( ( F `
 i )  < 
( y  +  x
)  /\  y  <  ( ( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7271cbvralv 2652 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  k )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
7366, 72syl6ib 160 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7473reximdva 2532 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. m  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
75 fveq2 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
7675raleqdv 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7776rspcev 2784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
7816, 77sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
7978ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8079rexlimdva 2547 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8174, 80syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
8281ralimdva 2497 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8382reximdva 2532 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8414, 83mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415    C_ wss 3066   class class class wbr 3924   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    <RR cltrr 7617    < clt 7793    <_ cle 7794    / cdiv 8425   NNcn 8713   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10750
  Copyright terms: Public domain W3C validator