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Theorem caucvgre 10379
Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within  1  /  n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
caucvgre.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgre  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    i, F, j, x, y    k, F, i, x, y    n, F, k    ph, k, n    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( i, j)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8396 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2 caucvgre.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3 caucvgre.cau . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
42, 3caucvgrelemcau 10378 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
51, 2, 4ax-caucvg 7444 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
6 ralrp 9124 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
7 0re 7467 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 ltxrlt 7531 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <  x  <->  0 
<RR  x ) )
97, 8mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  0  <RR  x ) )
109imbi1d 229 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )  <-> 
( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) ) )
1110ralbiia 2392 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR  (
0  <  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
126, 11bitri 182 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
1312rexbii 2385 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
145, 13sylibr 132 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
15 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 8409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
17 uznnssnn 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  C_  NN )
18 ssralv 3083 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )  C_  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
20 eluznn 9056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2116, 20sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
22 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
2322peano2nnd 8409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  NN )
2423nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ZZ )
25 eluz1 8992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_  k )
) )
2726biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2827impancom 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) ) )
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  ( m  +  1 )  <_ 
k ) )
3029simprd 112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  k
)
31 nnre 8401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
3231ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
33 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3433nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
35 1re 7466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
36 ltadd1 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
m  <  k  <->  ( m  +  1 )  < 
( k  +  1 ) ) )
3735, 36mp3an3 1262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( m  <  k  <->  ( m  +  1 )  <  ( k  +  1 ) ) )
3832, 34, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <  (
k  +  1 ) ) )
39 nnleltp1 8779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  <_  k  <->  ( m  +  1 )  <  ( k  +  1 ) ) )
4023, 33, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
k  <->  ( m  + 
1 )  <  (
k  +  1 ) ) )
4138, 40bitr4d 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <_  k
) )
4221, 41syldan 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( m  < 
k  <->  ( m  + 
1 )  <_  k
) )
4330, 42mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  m  <  k
)
44 nnre 8401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
45 ltxrlt 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( m  <  k  <->  m 
<RR  k ) )
4631, 44, 45syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  <  k  <->  m 
<RR  k ) )
4746adantll 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  < 
k  <->  m  <RR  k ) )
482ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> RR )
4948, 33ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
50 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
52 rpre 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
5451, 53readdcld 7496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  +  x )  e.  RR )
55 ltxrlt 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( y  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( y  +  x
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( y  +  x ) ) )
5649, 54, 55syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( y  +  x
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( y  +  x ) ) )
5749, 53readdcld 7496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  +  x )  e.  RR )
58 ltxrlt 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( ( F `  k )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( y  < 
( ( F `  k )  +  x
)  <->  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
5951, 57, 58syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  < 
( ( F `  k )  +  x
)  <->  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
6056, 59anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  <->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
6147, 60imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  <  k  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
6261biimprd 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
m  <  k  ->  ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
6321, 62syldan 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
m  <  k  ->  ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
6443, 63mpid 41 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( m 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
6564ralimdva 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( m  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( ( F `  k
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
6619, 65syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  k )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  k
)  +  x ) ) ) )
67 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
6867breq1d 3847 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  <  ( y  +  x )  <->  ( F `  i )  <  (
y  +  x ) ) )
6967oveq1d 5649 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 i )  +  x ) )
7069breq2d 3849 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
y  <  ( ( F `  k )  +  x )  <->  y  <  ( ( F `  i
)  +  x ) ) )
7168, 70anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  k
)  +  x ) )  <->  ( ( F `
 i )  < 
( y  +  x
)  /\  y  <  ( ( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7271cbvralv 2590 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  k )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
7366, 72syl6ib 159 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7473reximdva 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. m  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
75 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
7675raleqdv 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
7776rspcev 2722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
7816, 77sylan 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
7978ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8079rexlimdva 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8174, 80syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
8281ralimdva 2441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  ( m  <RR  k  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8382reximdva 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  NN  (
m  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
8414, 83mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360    C_ wss 2997   class class class wbr 3837   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    <RR cltrr 7333    < clt 7501    <_ cle 7502    / cdiv 8113   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   RR+crp 9103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10383
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