ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsub Unicode version
Theorem eluzsub 9102
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9082 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> N e. ZZ )
213ad2ant3 967 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. ZZ )
3 simp2 945 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> K e. ZZ )
42, 3zsubcld 8927 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
5 simp3 946 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6 simp1 944 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M e. ZZ )
76, 3zaddcld 8926 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( M + K ) e. ZZ )
8 eluz1 9077 . . . . . 6 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) ) )
97, 8syl 14 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) ) )
105, 9mpbid 146 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) )
1110simprd 113 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( M + K ) <_ N )
126zred 8922 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M e. RR )
133zred 8922 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> K e. RR )
142zred 8922 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. RR )
15 leaddsub 7970 . . . 4 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1175 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) )
1711, 16mpbid 146 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M <_ ( N - K ) )
18 eluz1 9077 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - K ) e. ZZ /\ M <_ ( N - K ) ) ) )
196, 18syl 14 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - K ) e. ZZ /\ M <_ ( N - K ) ) ) )
204, 17, 19mpbir2and 891 1 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   RRcr 7403   + caddc 7407   <_ cle 7577   - cmin 7707   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074
This theorem is referenced by:  fzoss2  9637  shftuz  10305  climshftlemg  10744  isumshft  10938
  Copyright terms: Public domain W3C validator