ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsub Unicode version

Theorem eluzsub 9307
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9287 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  N  e.  ZZ )
213ad2ant3 987 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 simp2 965 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
42, 3zsubcld 9132 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
5 simp3 966 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
6 simp1 964 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
76, 3zaddcld 9131 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
8 eluz1 9282 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  K )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) ) )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) )
1110simprd 113 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( M  +  K )  <_  N
)
126zred 9127 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  e.  RR )
133zred 9127 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  K  e.  RR )
142zred 9127 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  RR )
15 leaddsub 8164 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1199 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( M  +  K )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1711, 16mpbid 146 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( N  -  K )
)
18 eluz1 9282 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  K
) ) ) )
196, 18syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  K ) ) ) )
204, 17, 19mpbir2and 911 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583    + caddc 7587    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279
This theorem is referenced by:  fzoss2  9900  shftuz  10540  climshftlemg  11022  isumshft  11210
  Copyright terms: Public domain W3C validator