ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsub Unicode version

Theorem eluzsub 9468
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9448 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  N  e.  ZZ )
213ad2ant3 1005 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 simp2 983 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
42, 3zsubcld 9291 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
5 simp3 984 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
6 simp1 982 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
76, 3zaddcld 9290 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
8 eluz1 9443 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  K )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) ) )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) )
1110simprd 113 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( M  +  K )  <_  N
)
126zred 9286 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  e.  RR )
133zred 9286 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  K  e.  RR )
142zred 9286 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  N  e.  RR )
15 leaddsub 8313 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1220 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( M  +  K )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1711, 16mpbid 146 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( N  -  K )
)
18 eluz1 9443 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  K
) ) ) )
196, 18syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  K ) ) ) )
204, 17, 19mpbir2and 929 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   RRcr 7731    + caddc 7735    <_ cle 7913    - cmin 8046   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440
This theorem is referenced by:  fzoss2  10071  shftuz  10717  climshftlemg  11199  isumshft  11387
  Copyright terms: Public domain W3C validator