ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsub Unicode version
Theorem eluzsub 9625
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9604 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> N e. ZZ )
213ad2ant3 1022 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. ZZ )
3 simp2 1000 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> K e. ZZ )
42, 3zsubcld 9447 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
5 simp3 1001 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6 simp1 999 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M e. ZZ )
76, 3zaddcld 9446 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( M + K ) e. ZZ )
8 eluz1 9599 . . . . . 6 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) ) )
97, 8syl 14 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) ) )
105, 9mpbid 147 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ ( M + K ) <_ N ) )
1110simprd 114 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( M + K ) <_ N )
126zred 9442 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M e. RR )
133zred 9442 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> K e. RR )
142zred 9442 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> N e. RR )
15 leaddsub 8459 . . . 4 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( M + K ) <_ N <-> M <_ ( N - K ) ) )
1711, 16mpbid 147 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> M <_ ( N - K ) )
18 eluz1 9599 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - K ) e. ZZ /\ M <_ ( N - K ) ) ) )
196, 18syl 14 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - K ) e. ZZ /\ M <_ ( N - K ) ) ) )
204, 17, 19mpbir2and 946 1 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   + caddc 7877   <_ cle 8057   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596
This theorem is referenced by:  fzoss2  10242  shftuz  10964  climshftlemg  11448  isumshft  11636
  Copyright terms: Public domain W3C validator