Theorem eluzp1m1 9441

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9184	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3		zre 9150	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
4		zre 9150	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		1re 7856	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
6		leaddsub 8292	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
7	5, 6	mp3an2 1304	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
8	3, 4, 7	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
9	8	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
10	9	anasss 397	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
11	2, 10	jca 304	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) )
12	11	ex 114	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
13		peano2z 9182	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		eluz1 9422	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
16		eluz1 9422	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
17	12, 15, 16	3imtr4d 202	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	17	imp 123	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2125   class class class wbr 3961   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   RRcr 7710   1c1 7712   + caddc 7714   <_ cle 7892   - cmin 8025   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419

This theorem is referenced by:  peano2uzr  9475  fzosplitsnm1  10086  fzofzp1b  10105  seq3m1  10345  monoord  10353  seq3id  10385  seq3z  10388  serf0  11226  fsumm1  11290  telfsumo  11340  fsumparts  11344  isumsplit  11365  fprodm1  11472  ennnfonelemjn  12090