ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzp1m1 Unicode version

Theorem eluzp1m1 9546
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1m1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9286 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 490 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3 zre 9252 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 9252 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 1re 7952 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6 leaddsub 8390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
75, 6mp3an2 1325 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
83, 4, 7syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
98biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
109anasss 399 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
112, 10jca 306 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
1211ex 115 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
13 peano2z 9284 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
14 eluz1 9527 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
16 eluz1 9527 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
1712, 15, 163imtr4d 203 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
1817imp 124 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   RRcr 7806   1c1 7808    + caddc 7810    <_ cle 7988    - cmin 8123   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524
This theorem is referenced by:  peano2uzr  9580  fzosplitsnm1  10203  fzofzp1b  10222  seq3m1  10462  monoord  10470  seq3id  10502  seq3z  10505  serf0  11352  fsumm1  11416  telfsumo  11466  fsumparts  11470  isumsplit  11491  fprodm1  11598  pockthlem  12345  ennnfonelemjn  12394
  Copyright terms: Public domain W3C validator