Theorem eluzp1m1 9554

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9294	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3		zre 9260	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
4		zre 9260	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		1re 7959	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
6		leaddsub 8398	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
7	5, 6	mp3an2 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
8	3, 4, 7	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
10	9	anasss 399	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
11	2, 10	jca 306	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) )
12	11	ex 115	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
13		peano2z 9292	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		eluz1 9535	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
16		eluz1 9535	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
17	12, 15, 16	3imtr4d 203	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	17	imp 124	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   1c1 7815   + caddc 7817   <_ cle 7996   - cmin 8131   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532

This theorem is referenced by:  peano2uzr  9588  fzosplitsnm1  10212  fzofzp1b  10231  seq3m1  10471  monoord  10479  seq3id  10511  seq3z  10514  serf0  11363  fsumm1  11427  telfsumo  11477  fsumparts  11481  isumsplit  11502  fprodm1  11609  pockthlem  12357  ennnfonelemjn  12406