ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzp1m1 Unicode version

Theorem eluzp1m1 9105
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1m1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 8851 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 475 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3 zre 8817 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 8817 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 1re 7550 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6 leaddsub 7979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
75, 6mp3an2 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
83, 4, 7syl2an 284 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
98biimpa 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
109anasss 392 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
112, 10jca 301 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
1211ex 114 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
13 peano2z 8849 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
14 eluz1 9086 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
16 eluz1 9086 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
1712, 15, 163imtr4d 202 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
1817imp 123 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   RRcr 7412   1c1 7414    + caddc 7416    <_ cle 7586    - cmin 7716   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083
This theorem is referenced by:  peano2uzr  9136  fzosplitsnm1  9683  fzofzp1b  9702  iseqm1  9951  seq3m1  9952  monoord  9967  iseqid  10002  iseqz  10006  serf0  10804  fsumm1  10873  telfsumo  10923  fsumparts  10927  isumsplit  10948
  Copyright terms: Public domain W3C validator