Theorem eluz1 9737

Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 9735	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘})
2	1	eleq2d 2299	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘}))
3		breq2 4087	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	3	elrab 2959	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	2, 4	bitrdi 196	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  eluz2  9739  eluz1i  9741  eluz  9747  uzid  9748  uzss  9755  eluzp1m1  9758  eluzadd  9763  eluzsub  9764  raluz  9785  rexuz  9787  caucvgrelemcau  11506  caucvgre  11507  algcvga  12588