Theorem elxp 4789

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4778	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)}
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)})
3		elopab 4398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
4	2, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711  {copab 4189   × cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-opab 4191  df-xp 4778

This theorem is referenced by:  elxp2  4790  0nelxp  4800  0nelelxp  4801  rabxp  4810  elxp3  4827  elvv  4835  elvvv  4836  0xp  4853  xpmlem  5206  elxp4  5273  elxp5  5274  dfco2a  5286  opabex3d  6344  opabex3  6345  xp1st  6393  xp2nd  6394  poxp  6462  xpsnen  7113  xpcomco  7118  xpassen  7122  nqnq0pi  7799  fsum2dlemstep  12184  fprod2dlemstep  12372