Theorem xp1st 6403

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	|- ( A e. ( B X. C ) -> ( 1st ` A ) e. B )

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4793	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. b E. c ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) )
2		vex 2824	. . . . . . 7 |- b e. _V
3		vex 2824	. . . . . . 7 |- c e. _V
4	2, 3	op1std 6386	. . . . . 6 |- ( A = <. b , c >. -> ( 1st ` A ) = b )
5	4	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( A = <. b , c >. -> ( ( 1st ` A ) e. B <-> b e. B ) )
6	5	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( A = <. b , c >. /\ b e. B ) -> ( 1st ` A ) e. B )
7	6	adantrr 483	. . 3 |- ( ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( 1st ` A ) e. B )
8	7	exlimivv 1952	. 2 |- ( E. b E. c ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( 1st ` A ) e. B )
9	1, 8	sylbi 121	1 |- ( A e. ( B X. C ) -> ( 1st ` A ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4774   ` cfv 5380   1stc1st 6376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-1st 6378

This theorem is used by:  disjxp1  6476  xpf1o  7148  xpmapenlem  7153  mapunen  7155  opabfi  7251  djuf1olem  7399  eldju1st  7417  exmidapne  7632  dfplpq2  7727  dfmpq2  7728  enqbreq2  7730  enqdc1  7735  mulpipq2  7744  preqlu  7845  elnp1st2nd  7849  cauappcvgprlemladd  8031  elreal2  8203  cnref1o  10068  frecuzrdgrrn  10866  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgrcl  10868  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgrclt  10873  frecuzrdgg  10874  frecuzrdgsuctlem  10881  seq3val  10918  seqvalcd  10919  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  eucalgval  12857  eucalginv  12859  eucalglt  12860  eucalg  12862  sqpweven  12980  2sqpwodd  12981  ctiunctlemudc  13386  xpsff1o  13729  gsum2dfilem2  14272  tx2cn  15496  txdis  15503  txhmeo  15545  xmetxp  15733  xmetxpbl  15734  xmettxlem  15735  xmettx  15736  lgsquadlemofi  16400  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  idjudju  17252