Theorem xp1st 6269

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	|- ( A e. ( B X. C ) -> ( 1st ` A ) e. B )

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4705	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. b E. c ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) )
2		vex 2776	. . . . . . 7 |- b e. _V
3		vex 2776	. . . . . . 7 |- c e. _V
4	2, 3	op1std 6252	. . . . . 6 |- ( A = <. b , c >. -> ( 1st ` A ) = b )
5	4	eleq1d 2275	. . . . 5 |- ( A = <. b , c >. -> ( ( 1st ` A ) e. B <-> b e. B ) )
6	5	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( A = <. b , c >. /\ b e. B ) -> ( 1st ` A ) e. B )
7	6	adantrr 479	. . 3 |- ( ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( 1st ` A ) e. B )
8	7	exlimivv 1921	. 2 |- ( E. b E. c ( A = <. b , c >. /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( 1st ` A ) e. B )
9	1, 8	sylbi 121	1 |- ( A e. ( B X. C ) -> ( 1st ` A ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   <.cop 3641   X. cxp 4686   ` cfv 5285   1stc1st 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-1st 6244

This theorem is referenced by:  disjxp1  6340  xpf1o  6961  xpmapenlem  6966  opabfi  7056  djuf1olem  7176  eldju1st  7194  exmidapne  7402  dfplpq2  7497  dfmpq2  7498  enqbreq2  7500  enqdc1  7505  mulpipq2  7514  preqlu  7615  elnp1st2nd  7619  cauappcvgprlemladd  7801  elreal2  7973  cnref1o  9802  frecuzrdgrrn  10585  frec2uzrdg  10586  frecuzrdgrcl  10587  frecuzrdgsuc  10591  frecuzrdgrclt  10592  frecuzrdgg  10593  frecuzrdgsuctlem  10600  seq3val  10637  seqvalcd  10638  fsum2dlemstep  11830  fisumcom2  11834  fprod2dlemstep  12018  fprodcom2fi  12022  eucalgval  12461  eucalginv  12463  eucalglt  12464  eucalg  12466  sqpweven  12582  2sqpwodd  12583  ctiunctlemudc  12893  xpsff1o  13266  tx2cn  14827  txdis  14834  txhmeo  14876  xmetxp  15064  xmetxpbl  15065  xmettxlem  15066  xmettx  15067  lgsquadlemofi  15638  lgsquadlem1  15639  lgsquadlem2  15640