Theorem zleloe 9238

Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zleloe	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem zleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9195	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9195	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3		lenlt 7974	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		ztri3or 9234	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
6		df-3or 969	. . . . . 6 |- ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) <-> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
8	7	orcomd 719	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A \/ ( A < B \/ A = B ) ) )
9	8	ord 714	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B < A -> ( A < B \/ A = B ) ) )
10	4, 9	sylbid 149	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> ( A < B \/ A = B ) ) )
11		ltle 7986	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
12		eqle 7990	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
13	12	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
14	13	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
15	11, 14	jaod 707	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
16	1, 2, 15	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
17	10, 16	impbid 128	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9273  indstr  9531  nn01to3  9555  modfzo0difsn  10330  frec2uzltd  10338  frec2uzled  10364  iseqf1olemqcl  10421  iseqf1olemnab  10423  iseqf1olemab  10424  seq3f1olemqsumk  10434  seq3f1olemqsum  10435  exp3val  10457  facdiv  10651  facwordi  10653  zfz1isolemiso  10752  resqrexlemnm  10960  resqrexlemcvg  10961  cvgratnnlemseq  11467  nn0o1gt2  11842  sqrt2irr  12094