Theorem zleloe 9670

Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zleloe	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem zleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9627	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9627	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3		lenlt 8391	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		ztri3or 9666	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
6		df-3or 1010	. . . . . 6 |- ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) <-> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
8	7	orcomd 741	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A \/ ( A < B \/ A = B ) ) )
9	8	ord 736	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B < A -> ( A < B \/ A = B ) ) )
10	4, 9	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> ( A < B \/ A = B ) ) )
11		ltle 8403	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
12		eqle 8407	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
15	11, 14	jaod 729	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
16	1, 2, 15	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
17	10, 16	impbid 129	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9707  indstr  9972  nn01to3  9996  modfzo0difsn  10810  frec2uzltd  10818  frec2uzled  10844  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemab  10917  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemqsum  10928  exp3val  10956  facdiv  11154  facwordi  11156  zfz1isolemiso  11269  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  cvgratnnlemseq  12271  nn0o1gt2  12650  sqrt2irr  12918