Theorem zleloe 9509

Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zleloe	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem zleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9466	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9466	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3		lenlt 8238	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		ztri3or 9505	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
6		df-3or 1003	. . . . . 6 |- ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) <-> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
8	7	orcomd 734	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A \/ ( A < B \/ A = B ) ) )
9	8	ord 729	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B < A -> ( A < B \/ A = B ) ) )
10	4, 9	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> ( A < B \/ A = B ) ) )
11		ltle 8250	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
12		eqle 8254	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
15	11, 14	jaod 722	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
16	1, 2, 15	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
17	10, 16	impbid 129	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8014   < clt 8197   <_ cle 8198   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9545  indstr  9805  nn01to3  9829  modfzo0difsn  10634  frec2uzltd  10642  frec2uzled  10668  iseqf1olemqcl  10738  iseqf1olemnab  10740  iseqf1olemab  10741  seq3f1olemqsumk  10751  seq3f1olemqsum  10752  exp3val  10780  facdiv  10977  facwordi  10979  zfz1isolemiso  11079  resqrexlemnm  11550  resqrexlemcvg  11551  cvgratnnlemseq  12058  nn0o1gt2  12437  sqrt2irr  12705