Theorem zleloe 9419

Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zleloe	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem zleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9376	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9376	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3		lenlt 8148	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		ztri3or 9415	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
6		df-3or 982	. . . . . 6 |- ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) <-> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) \/ B < A ) )
8	7	orcomd 731	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A \/ ( A < B \/ A = B ) ) )
9	8	ord 726	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B < A -> ( A < B \/ A = B ) ) )
10	4, 9	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> ( A < B \/ A = B ) ) )
11		ltle 8160	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
12		eqle 8164	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
13	12	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
15	11, 14	jaod 719	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
16	1, 2, 15	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> A <_ B ) )
17	10, 16	impbid 129	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9455  indstr  9714  nn01to3  9738  modfzo0difsn  10540  frec2uzltd  10548  frec2uzled  10574  iseqf1olemqcl  10644  iseqf1olemnab  10646  iseqf1olemab  10647  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1olemqsum  10658  exp3val  10686  facdiv  10883  facwordi  10885  zfz1isolemiso  10984  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  cvgratnnlemseq  11837  nn0o1gt2  12216  sqrt2irr  12484