Theorem zlelttric 8793

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zlelttric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Proof of Theorem zlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8752	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 8752	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 331	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 8791	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 7570	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 668	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B < A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
8		eqle 7574	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 113	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
12		olc 667	. . . 4 |- ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
14	7, 11, 13	3jaod 1240	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
15	3, 4, 14	sylc 61	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664   \/ w3o 923   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7347   < clt 7520   <_ cle 7521   ZZcz 8748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749

This theorem is referenced by:  btwnapz  8874  eluzdc  9095  fzsplit2  9462  uzsplit  9502  fzospliti  9583  fzouzsplit  9586  faclbnd  10145  resqrexlemoverl  10450  fisumrev2  10836  dvdslelemd  11118  dvdsle  11119  sqrt2irrap  11432  uzdcinzz  11653