Theorem zlelttric 9301

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zlelttric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Proof of Theorem zlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9260	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9260	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 9299	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 8048	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 712	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B < A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
8		eqle 8052	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
12		olc 711	. . . 4 |- ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
14	7, 11, 13	3jaod 1304	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
15	3, 4, 14	sylc 62	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7813   < clt 7995   <_ cle 7996   ZZcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257

This theorem is referenced by:  btwnapz  9386  eluzdc  9613  fzsplit2  10053  uzsplit  10095  fzospliti  10179  fzouzsplit  10182  faclbnd  10724  resqrexlemoverl  11033  fisumrev2  11457  dvdslelemd  11852  dvdsle  11853  isprm5lem  12144  sqrt2irrap  12183  prm23ge5  12267  dvdsprmpweqle  12339  uzdcinzz  14690