Theorem zlelttric 8691

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zlelttric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Proof of Theorem zlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8650	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 8650	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 331	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 8689	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 7475	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 666	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B < A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
8		eqle 7479	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 113	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
12		olc 665	. . . 4 |- ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
14	7, 11, 13	3jaod 1236	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B < A ) ) )
15	3, 4, 14	sylc 61	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662   \/ w3o 919   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3811   RRcr 7252   < clt 7425   <_ cle 7426   ZZcz 8646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647

This theorem is referenced by:  eluzdc  8992  fzsplit2  9359  uzsplit  9399  fzospliti  9476  fzouzsplit  9479  faclbnd  9984  resqrexlemoverl  10281  dvdslelemd  10624  dvdsle  10625  sqrt2irrap  10938  uzdcinzz  11041