Theorem zdcle 9523

Description: Integer <_ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9489	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9450	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9450	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		ltle 8234	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5		orc 717	. . . . . 6 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
6		df-dc 840	. . . . . 6 |- (DECID A <_ B <-> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <_ B -> DECID A <_ B )
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A <_ B ) )
9		eqle 8238	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A <_ B )
11	10	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
13		lenlt 8222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
14	13	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> -. B < A ) )
15	14	con2d 627	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A <_ B ) )
16		olc 716	. . . . . 6 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
17	16, 6	sylibr 134	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> DECID A <_ B )
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A <_ B ) )
19	8, 12, 18	3jaod 1338	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
20	2, 3, 19	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
21	1, 20	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  uzin  9755  xnn0dcle  9998  nelfzo  10348  exfzdc  10446  infssuzex  10453  modfzo0difsn  10617  fzfig  10652  iseqf1olemjpcl  10730  iseqf1olemqpcl  10731  seq3f1oleml  10738  seq3f1o  10739  fser0const  10757  ccatsymb  11137  fzowrddc  11179  swrdnd  11191  swrdsbslen  11198  swrdspsleq  11199  pfxccat3  11266  swrdccat  11267  pfxccat3a  11270  swrdccat3blem  11271  swrdccat3b  11272  uzin2  11498  2zsupmax  11737  2zinfmin  11754  sumeq2  11870  summodclem2a  11892  fsum3  11898  fsumcl2lem  11909  fsumadd  11917  sumsnf  11920  fsummulc2  11959  explecnv  12016  prodeq2  12068  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodseq  12094  prod1dc  12097  fprodmul  12102  prodsnf  12103  pcdvdsb  12843  pcmpt2  12867  pcmptdvds  12868  pcprod  12869  pcfac  12873  1arithlem4  12889  plyaddlem1  15421  plyaddlem  15423