Theorem zdcle 9223

Description: Integer <_ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9193	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9154	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9154	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		ltle 7947	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5		orc 702	. . . . . 6 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
6		df-dc 821	. . . . . 6 |- (DECID A <_ B <-> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
7	5, 6	sylibr 133	. . . . 5 |- ( A <_ B -> DECID A <_ B )
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A <_ B ) )
9		eqle 7951	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A <_ B )
11	10	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
12	11	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
13		lenlt 7936	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
14	13	biimpd 143	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> -. B < A ) )
15	14	con2d 614	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A <_ B ) )
16		olc 701	. . . . . 6 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
17	16, 6	sylibr 133	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> DECID A <_ B )
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A <_ B ) )
19	8, 12, 18	3jaod 1286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
20	2, 3, 19	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
21	1, 20	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RRcr 7714   < clt 7895   <_ cle 7896   ZZcz 9150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151

This theorem is referenced by:  uzin  9454  exfzdc  10121  modfzo0difsn  10276  fzfig  10311  iseqf1olemjpcl  10376  iseqf1olemqpcl  10377  seq3f1oleml  10384  seq3f1o  10385  fser0const  10397  uzin2  10869  2zsupmax  11107  sumeq2  11238  summodclem2a  11260  fsum3  11266  fsumcl2lem  11277  fsumadd  11285  sumsnf  11288  fsummulc2  11327  explecnv  11384  prodeq2  11436  prodmodclem3  11454  prodmodclem2a  11455  fprodseq  11462  prod1dc  11465  fprodmul  11470  prodsnf  11471  infssuzex  11817