ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdcle Unicode version

Theorem zdcle 8823
Description: Integer  <_ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdcle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <_  B )

Proof of Theorem zdcle
StepHypRef Expression
1 ztri3or 8793 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
2 zre 8754 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
3 zre 8754 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
4 ltle 7572 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
5 orc 668 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  ( A  <_  B  \/  -.  A  <_  B ) )
6 df-dc 781 . . . . . 6  |-  (DECID  A  <_  B 
<->  ( A  <_  B  \/  -.  A  <_  B
) )
75, 6sylibr 132 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  -> DECID  A  <_  B )
84, 7syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  <_  B ) )
9 eqle 7576 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
109, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  -> DECID  A  <_  B )
1110ex 113 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  -> DECID  A  <_  B ) )
1211adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  -> DECID 
A  <_  B )
)
13 lenlt 7561 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
1413biimpd 142 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  -.  B  <  A
) )
1514con2d 589 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A  <_  B
) )
16 olc 667 . . . . . 6  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( A  <_  B  \/  -.  A  <_  B ) )
1716, 6sylibr 132 . . . . 5  |-  ( -.  A  <_  B  -> DECID  A  <_  B )
1815, 17syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  <_  B ) )
198, 12, 183jaod 1240 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <_  B ) )
202, 3, 19syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <_  B ) )
211, 20mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7349    < clt 7522    <_ cle 7523   ZZcz 8750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751
This theorem is referenced by:  uzin  9051  exfzdc  9651  modfzo0difsn  9802  fzfig  9837  iseqf1olemjpcl  9924  iseqf1olemqpcl  9925  seq3f1oleml  9932  seq3f1o  9933  fser0const  9951  uzin2  10420  2zsupmax  10657  sumeq2  10748  isummolem2a  10771  fisum  10778  fsum3  10779  fsumcl2lem  10792  fsumadd  10800  sumsnf  10803  fsummulc2  10842  explecnv  10899  infssuzex  11223
  Copyright terms: Public domain W3C validator