Theorem zdcle 9484

Description: Integer <_ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9450	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9411	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9411	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		ltle 8195	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5		orc 714	. . . . . 6 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
6		df-dc 837	. . . . . 6 |- (DECID A <_ B <-> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <_ B -> DECID A <_ B )
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A <_ B ) )
9		eqle 8199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A <_ B )
11	10	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A <_ B ) )
13		lenlt 8183	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
14	13	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> -. B < A ) )
15	14	con2d 625	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A <_ B ) )
16		olc 713	. . . . . 6 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
17	16, 6	sylibr 134	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> DECID A <_ B )
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A <_ B ) )
19	8, 12, 18	3jaod 1317	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
20	2, 3, 19	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A <_ B ) )
21	1, 20	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  uzin  9716  xnn0dcle  9959  nelfzo  10309  exfzdc  10406  infssuzex  10413  modfzo0difsn  10577  fzfig  10612  iseqf1olemjpcl  10690  iseqf1olemqpcl  10691  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  fser0const  10717  ccatsymb  11096  fzowrddc  11138  swrdnd  11150  swrdsbslen  11157  swrdspsleq  11158  pfxccat3  11225  swrdccat  11226  pfxccat3a  11229  swrdccat3blem  11230  swrdccat3b  11231  uzin2  11413  2zsupmax  11652  2zinfmin  11669  sumeq2  11785  summodclem2a  11807  fsum3  11813  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  sumsnf  11835  fsummulc2  11874  explecnv  11931  prodeq2  11983  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodseq  12009  prod1dc  12012  fprodmul  12017  prodsnf  12018  pcdvdsb  12758  pcmpt2  12782  pcmptdvds  12783  pcprod  12784  pcfac  12788  1arithlem4  12804  plyaddlem1  15334  plyaddlem  15336