ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qletric Unicode version

Theorem qletric 10028
Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qletric  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem qletric
StepHypRef Expression
1 qre 9424 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
2 qre 9424 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
31, 2anim12i 336 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
4 qtri3or 10027 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
5 ltle 7858 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
6 orc 701 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
75, 6syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) ) )
8 eqle 7862 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
98ex 114 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  A  <_  B ) )
109adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  A  <_  B
) )
1110, 6syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) ) )
12 ltle 7858 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
1312ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
14 olc 700 . . . 4  |-  ( B  <_  A  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
1513, 14syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) ) )
167, 11, 153jaod 1282 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) ) )
173, 4, 16sylc 62 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7626    < clt 7807    <_ cle 7808   QQcq 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449
This theorem is referenced by:  qavgle  10043  qabsor  10854  qtopbas  12701
  Copyright terms: Public domain W3C validator