ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltnle Unicode version

Theorem zltnle 9114
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltnle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem zltnle
StepHypRef Expression
1 zre 9072 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
2 zre 9072 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
3 lenlt 7854 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
41, 2, 3syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
54biimpd 143 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  -.  A  <  B
) )
65con2d 613 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <_  A
) )
7 ztri3or 9111 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
8 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
10 eqcom 2141 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
11 eqle 7869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =  A )  ->  B  <_  A )
1210, 11sylan2b 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  B  <_  A )
1312ex 114 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A ) )
1413adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
151, 14sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
16 pm2.24 610 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
1715, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
18 ltle 7865 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
191, 2, 18syl2anr 288 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
2019, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
219, 17, 203jaod 1282 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
227, 21mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) )
236, 22impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7633    < clt 7814    <_ cle 7815   ZZcz 9068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069
This theorem is referenced by:  znnnlt1  9116  nn0n0n1ge2b  9144  eluzdc  9418  fzdcel  9834  fzn  9836  fzpreddisj  9865  fzp1disj  9874  fzneuz  9895  fznuz  9896  uznfz  9897  fzp1nel  9898  difelfznle  9926  fzodisj  9969  exfzdc  10031  modfzo0difsn  10182  fzfig  10217  iseqf1olemqk  10281  exp3val  10309  facdiv  10498  bcval5  10523  zfz1isolemiso  10596  2zsupmax  11011  summodclem3  11163  alzdvds  11565  fzm1ndvds  11567  fzo0dvdseq  11568  n2dvds1  11622  dvdsbnd  11658  algcvgblem  11743  prmndvdsfaclt  11847  uzdcinzz  13112
  Copyright terms: Public domain W3C validator