Theorem zltnle 9699

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9657	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
2		zre 9657	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		lenlt 8407	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 633	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		ztri3or 9696	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 8423	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 115	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 630	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 8419	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1345	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 129	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  znnnlt1  9701  nnnle0  9702  nn0n0n1ge2b  9734  eluzdc  10025  fzdcel  10460  fzn  10462  fzpreddisj  10494  fzp1disj  10503  fzneuz  10524  fznuz  10525  uznfz  10526  fzp1nel  10527  difelfznle  10558  nelfzo  10575  fzodisj  10603  exfzdc  10675  modfzo0difsn  10852  fzfig  10887  iseqf1olemqk  10964  exp3val  10998  facdiv  11197  bcval5  11222  zfz1isolemiso  11312  ccatsymb  11391  swrdnd  11452  swrdsbslen  11459  swrdspsleq  11460  pfxccat3  11527  swrdccat  11528  pfxccat3a  11531  2zsupmax  12014  2zinfmin  12033  summodclem3  12171  fprodntrivap  12375  alzdvds  12645  fzm1ndvds  12647  fzo0dvdseq  12648  n2dvds1  12703  bitsfzolem  12745  bitsfzo  12746  dvdsbnd  12757  algcvgblem  12851  prmndvdsfaclt  12959  odzdvds  13052  pcprendvds  13097  pcdvdsb  13127  pc2dvds  13137  pcmpt  13150  pockthg  13164  prmunb  13169  1arith  13174  4sqlem11  13208  prmlem1  13250  prmlem2  13262  ballotfilem2  13285  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemodife  13297  ballotfilemrv2  13322  gzsumgsum  14244  ppiprm  16276  chtprm  16278  ppiublem1  16308  chtqub  16313  perfectlem2  16317  bpos1  16327  bposlem1  16328  bposlem3  16330  bposlem6  16333  lgsdilem2  16377  lgsquadlem2  16419  uzdcinzz  17048