Theorem zltnle 9524

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9482	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
2		zre 9482	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		lenlt 8254	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 629	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		ztri3or 9521	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2233	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 8270	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 115	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 626	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 8266	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1340	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 129	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8030   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  znnnlt1  9526  nnnle0  9527  nn0n0n1ge2b  9558  eluzdc  9843  fzdcel  10274  fzn  10276  fzpreddisj  10305  fzp1disj  10314  fzneuz  10335  fznuz  10336  uznfz  10337  fzp1nel  10338  difelfznle  10369  nelfzo  10386  fzodisj  10414  exfzdc  10485  modfzo0difsn  10656  fzfig  10691  iseqf1olemqk  10768  exp3val  10802  facdiv  10999  bcval5  11024  zfz1isolemiso  11102  ccatsymb  11178  swrdnd  11239  swrdsbslen  11246  swrdspsleq  11247  pfxccat3  11314  swrdccat  11315  pfxccat3a  11318  2zsupmax  11786  2zinfmin  11803  summodclem3  11940  fprodntrivap  12144  alzdvds  12414  fzm1ndvds  12416  fzo0dvdseq  12417  n2dvds1  12472  bitsfzolem  12514  bitsfzo  12515  dvdsbnd  12526  algcvgblem  12620  prmndvdsfaclt  12727  odzdvds  12817  pcprendvds  12862  pcdvdsb  12892  pc2dvds  12902  pcmpt  12915  pockthg  12929  prmunb  12934  1arith  12939  4sqlem11  12973  perfectlem2  15723  lgsdilem2  15764  lgsquadlem2  15806  uzdcinzz  16394  gsumgfsum  16684