Theorem zltnle 9251

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9209	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
2		zre 9209	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		lenlt 7988	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 143	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 619	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		ztri3or 9248	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 8004	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 285	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 114	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 616	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 8000	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1299	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 128	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 972   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7766   < clt 7947   <_ cle 7948   ZZcz 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206

This theorem is referenced by:  znnnlt1  9253  nn0n0n1ge2b  9284  eluzdc  9562  fzdcel  9989  fzn  9991  fzpreddisj  10020  fzp1disj  10029  fzneuz  10050  fznuz  10051  uznfz  10052  fzp1nel  10053  difelfznle  10084  fzodisj  10127  exfzdc  10189  modfzo0difsn  10344  fzfig  10379  iseqf1olemqk  10443  exp3val  10471  facdiv  10665  bcval5  10690  zfz1isolemiso  10767  2zsupmax  11182  2zinfmin  11199  summodclem3  11336  fprodntrivap  11540  alzdvds  11807  fzm1ndvds  11809  fzo0dvdseq  11810  n2dvds1  11864  dvdsbnd  11904  algcvgblem  11996  prmndvdsfaclt  12103  odzdvds  12192  pcprendvds  12237  pcdvdsb  12266  pc2dvds  12276  pcmpt  12288  pockthg  12302  prmunb  12307  1arith  12312  lgsdilem2  13696  uzdcinzz  13798