Theorem zletric 9522

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zletric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Proof of Theorem zletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9482	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9482	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 9521	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 8266	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 719	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
8		eqle 8270	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
12		ltle 8266	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
13	12	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
14		olc 718	. . . 4 |- ( B <_ A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
15	13, 14	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
16	7, 11, 15	3jaod 1340	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
17	3, 4, 16	sylc 62	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8030   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  elz2  9550  uztric  9777  xnn0letri  10037  z2ge  10060  nn0abscl  11645  fzomaxdif  11673  zmaxcl  11784  cvgratz  12092  pcfac  12922  1arithlem4  12938  ennnfonelemrnh  13036