Theorem zletric 9584

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zletric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Proof of Theorem zletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9544	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9544	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 9583	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 8326	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 720	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
8		eqle 8330	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
12		ltle 8326	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
13	12	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
14		olc 719	. . . 4 |- ( B <_ A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
15	13, 14	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
16	7, 11, 15	3jaod 1341	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
17	3, 4, 16	sylc 62	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  elz2  9612  uztric  9839  xnn0letri  10099  z2ge  10122  nn0abscl  11725  fzomaxdif  11753  zmaxcl  11864  cvgratz  12173  pcfac  13003  1arithlem4  13019  ennnfonelemrnh  13117