Theorem zletric 9245

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zletric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Proof of Theorem zletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9205	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9205	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 336	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 9244	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 7996	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 707	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
8		eqle 8000	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
12		ltle 7996	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
13	12	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
14		olc 706	. . . 4 |- ( B <_ A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
15	13, 14	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
16	7, 11, 15	3jaod 1299	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
17	3, 4, 16	sylc 62	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   \/ w3o 972   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7762   < clt 7943   <_ cle 7944   ZZcz 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202

This theorem is referenced by:  elz2  9272  uztric  9497  xnn0letri  9749  z2ge  9772  nn0abscl  11038  fzomaxdif  11066  zmaxcl  11177  cvgratz  11484  pcfac  12291  1arithlem4  12307  ennnfonelemrnh  12360