Theorem zletric 9623

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zletric	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Proof of Theorem zletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9583	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9583	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ztri3or 9622	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 8363	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 720	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
8		eqle 8367	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
12		ltle 8363	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
13	12	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
14		olc 719	. . . 4 |- ( B <_ A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
15	13, 14	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
16	7, 11, 15	3jaod 1341	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
17	3, 4, 16	sylc 62	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8128   < clt 8310   <_ cle 8311   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580

This theorem is referenced by:  elz2  9651  uztric  9879  xnn0letri  10139  z2ge  10162  nn0abscl  11774  fzomaxdif  11802  zmaxcl  11913  cvgratz  12222  pcfac  13052  1arithlem4  13068  ennnfonelemrnh  13184