Theorem resqrexlemcvg 11330

Description: Lemma for resqrex 11337. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcvg	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   i, F, j, r, x   ph, i, j, r   ph, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j, r)   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11318	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		rpssre 9786	. . . 4 |- RR+ C_ RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
7	4, 6	fssd 5438	. 2 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8		1nn 9047	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
10	4, 9	ffvelcdmd 5716	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
11		2z 9400	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 10842	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
14		2rp 9780	. . . . 5 |- 2 e. RR+
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
16	13, 15	rpmulcld 9835	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
17	16, 15	rpmulcld 9835	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR+ )
19		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	18, 19	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR+ )
21	20	rpred 9818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
22		eluznn 9721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
23	22	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
24	18, 23	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
25	24	rpred 9818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 8453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) e. RR )
27	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
28	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. RR+ )
29	19	nnzd 9494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
31	27, 30	rpdivcld 9836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
32	31	rpred 9818	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
33	19	nnrpd 9816	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
34	27, 33	rpdivcld 9836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR+ )
35	34	rpred 9818	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR )
36	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. RR )
37	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ A )
38		eluzle 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
40	1, 36, 37, 19, 23, 39	resqrexlemnm 11329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
41		2cn 9107	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
42		expm1t 10712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
43	41, 19, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
44	43	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) )
45	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. NN )
46	18, 45	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
47	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. ZZ )
48	46, 47	rpexpcld 10842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 9835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
51	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. CC )
52		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
53	19, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 10818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
55		2ap0 9129	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 # 0 )
57		1zzd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. ZZ )
58	29, 57	zsubcld 9500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
59	51, 56, 58	expap0d 10824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) # 0 )
60	50, 54, 51, 59, 56	divcanap5rd 8891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
62	40, 61	breqtrrd 4072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) )
63		uzid 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	11, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
65	19	nnnn0d 9348	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
66		bernneq3 10807	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n < ( 2 ^ n ) )
67	64, 65, 66	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n < ( 2 ^ n ) )
68	33, 30, 27	ltdiv2d 9842	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < ( 2 ^ n ) <-> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
69	67, 68	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
70	26, 32, 35, 62, 69	lttrd 8198	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
71	21, 25, 35	ltsubadd2d 8616	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
72	70, 71	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
73	21, 35	readdcld 8102	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) e. RR )
74	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
75	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` n ) e. RR )
76	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> A e. RR )
77	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> 0 <_ A )
78	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n e. NN )
79	23	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> k e. NN )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n < k )
81	1, 76, 77, 78, 79, 80	resqrexlemdecn 11323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` n ) )
82	74, 75, 81	ltled 8191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
83		fveq2 5576	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
84	83	eqcomd 2211	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85		eqle 8164	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) = ( F ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
86	25, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n = k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
87	23	nnzd 9494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ZZ )
88		zleloe 9419	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
89	29, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
90	39, 89	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < k \/ n = k ) )
91	82, 86, 90	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
92	21, 34	ltaddrpd 9852	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
93	25, 21, 73, 91, 92	lelttrd 8197	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
94	72, 93	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
95	94	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2579	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
97	7, 17, 96	cvg1n 11297	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   seqcseq 10592   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11336