Theorem resqrexlemcvg 11184

Description: Lemma for resqrex 11191. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcvg	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   i, F, j, r, x   ph, i, j, r   ph, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j, r)   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11172	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		rpssre 9739	. . . 4 |- RR+ C_ RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
7	4, 6	fssd 5420	. 2 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8		1nn 9001	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
10	4, 9	ffvelcdmd 5698	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
11		2z 9354	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 10789	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
14		2rp 9733	. . . . 5 |- 2 e. RR+
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
16	13, 15	rpmulcld 9788	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
17	16, 15	rpmulcld 9788	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR+ )
19		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	18, 19	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR+ )
21	20	rpred 9771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
22		eluznn 9674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
23	22	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
24	18, 23	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
25	24	rpred 9771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 8407	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) e. RR )
27	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
28	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. RR+ )
29	19	nnzd 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
31	27, 30	rpdivcld 9789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
32	31	rpred 9771	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
33	19	nnrpd 9769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
34	27, 33	rpdivcld 9789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR+ )
35	34	rpred 9771	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR )
36	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. RR )
37	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ A )
38		eluzle 9613	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
40	1, 36, 37, 19, 23, 39	resqrexlemnm 11183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
41		2cn 9061	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
42		expm1t 10659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
43	41, 19, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
44	43	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) )
45	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. NN )
46	18, 45	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
47	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. ZZ )
48	46, 47	rpexpcld 10789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 9788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 9773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
51	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. CC )
52		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
53	19, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 10765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
55		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 # 0 )
57		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. ZZ )
58	29, 57	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
59	51, 56, 58	expap0d 10771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) # 0 )
60	50, 54, 51, 59, 56	divcanap5rd 8845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
62	40, 61	breqtrrd 4061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) )
63		uzid 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	11, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
65	19	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
66		bernneq3 10754	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n < ( 2 ^ n ) )
67	64, 65, 66	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n < ( 2 ^ n ) )
68	33, 30, 27	ltdiv2d 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < ( 2 ^ n ) <-> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
69	67, 68	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
70	26, 32, 35, 62, 69	lttrd 8152	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
71	21, 25, 35	ltsubadd2d 8570	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
72	70, 71	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
73	21, 35	readdcld 8056	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) e. RR )
74	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
75	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` n ) e. RR )
76	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> A e. RR )
77	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> 0 <_ A )
78	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n e. NN )
79	23	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> k e. NN )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n < k )
81	1, 76, 77, 78, 79, 80	resqrexlemdecn 11177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` n ) )
82	74, 75, 81	ltled 8145	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
83		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
84	83	eqcomd 2202	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85		eqle 8118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) = ( F ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
86	25, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n = k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
87	23	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ZZ )
88		zleloe 9373	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
89	29, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
90	39, 89	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < k \/ n = k ) )
91	82, 86, 90	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
92	21, 34	ltaddrpd 9805	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
93	25, 21, 73, 91, 92	lelttrd 8151	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
94	72, 93	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
95	94	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
97	7, 17, 96	cvg1n 11151	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   seqcseq 10539   ^cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11190