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Theorem resqrexlemcvg 10784
Description: Lemma for resqrex 10791. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
i, F, j, r, x    ph, i, j, r    ph, y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, i, j, r)    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10772 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 rpssre 9445 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
74, 6fssd 5280 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 1nn 8724 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
104, 9ffvelrnd 5549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
11 2z 9075 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1310, 12rpexpcld 10441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
14 2rp 9439 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
1613, 15rpmulcld 9493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
1716, 15rpmulcld 9493 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
184ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
19 simplr 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2018, 19ffvelrnd 5549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR+ )
2120rpred 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
22 eluznn 9387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
2322adantll 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
2418, 23ffvelrnd 5549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
2524rpred 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2621, 25resubcld 8136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  e.  RR )
2717ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  RR+ )
2919nnzd 9165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 9494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3231rpred 9476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
3319nnrpd 9475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
3427, 33rpdivcld 9494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR+ )
3534rpred 9476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR )
362ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A  e.  RR )
373ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  0  <_  A )
38 eluzle 9331 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3938adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 10783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
41 2cn 8784 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
42 expm1t 10314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n
)  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4341, 19, 42sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4443oveq2d 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
( 2 ^ (
n  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  NN )
4618, 45ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  ZZ )
4846, 47rpexpcld 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948, 28rpmulcld 9493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
5049rpcnd 9478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  CC )
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  CC )
52 nnm1nn0 9011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5451, 53expcld 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
55 2ap0 8806 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2 #  0
)
57 1zzd 9074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  ZZ )
5829, 57zsubcld 9171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
5951, 56, 58expap0d 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) ) #  0 )
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6144, 60eqtrd 2170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6240, 61breqtrrd 3951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ n ) ) )
63 uzid 9333 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
6519nnnn0d 9023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN0 )
66 bernneq3 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <  ( 2 ^ n
) )
6764, 65, 66sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <  ( 2 ^ n ) )
6833, 30, 27ltdiv2d 9500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  ( 2 ^ n
)  <->  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
6967, 68mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 7881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7121, 25, 35ltsubadd2d 8298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( F `
 k ) )  <  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
7270, 71mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
7321, 35readdcld 7788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  e.  RR )
7425adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7521adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
7636adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  A  e.  RR )
7737adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  0  <_  A )
7819adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  e.  NN )
7923adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  k  e.  NN )
80 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  <  k )
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 10777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <  ( F `  n )
)
8274, 75, 81ltled 7874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
83 fveq2 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
8483eqcomd 2143 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
85 eqle 7848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  n ) )
8625, 84, 85syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  =  k )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
8723nnzd 9165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ZZ )
88 zleloe 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) ) )
8929, 87, 88syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  < 
k  \/  n  =  k ) ) )
9039, 89mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) )
9182, 86, 90mpjaodan 787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
9221, 34ltaddrpd 9510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 7880 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9472, 93jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9594ralrimiva 2503 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2503 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
977, 17, 96cvg1n 10751 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415    C_ wss 3066   {csn 3522   class class class wbr 3924    X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    x. cmul 7618    < clt 7793    <_ cle 7794    - cmin 7926   # cap 8336    / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434    seqcseq 10211   ^cexp 10285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10790
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