Theorem resqrexlemcvg 11807

Description: Lemma for resqrex 11814. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcvg	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   i, F, j, r, x   ph, i, j, r   ph, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j, r)   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11795	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		rpssre 10082	. . . 4 |- RR+ C_ RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
7	4, 6	fssd 5550	. 2 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8		1nn 9324	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
10	4, 9	ffvelcdmd 5847	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
11		2z 9683	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 11156	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
14		2rp 10076	. . . . 5 |- 2 e. RR+
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
16	13, 15	rpmulcld 10131	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
17	16, 15	rpmulcld 10131	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
18	4	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR+ )
19		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	18, 19	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR+ )
21	20	rpred 10114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
22		eluznn 10016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
23	22	adantll 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
24	18, 23	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
25	24	rpred 10114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 8715	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) e. RR )
27	17	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
28	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. RR+ )
29	19	nnzd 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 11156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
31	27, 30	rpdivcld 10132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
32	31	rpred 10114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
33	19	nnrpd 10112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
34	27, 33	rpdivcld 10132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR+ )
35	34	rpred 10114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR )
36	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. RR )
37	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ A )
38		eluzle 9950	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
40	1, 36, 37, 19, 23, 39	resqrexlemnm 11806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
41		2cn 9384	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
42		expm1t 11025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
43	41, 19, 42	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
44	43	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) )
45	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. NN )
46	18, 45	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
47	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. ZZ )
48	46, 47	rpexpcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 10116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
51	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. CC )
52		nnm1nn0 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
53	19, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 11132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
55		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 # 0 )
57		1zzd 9682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. ZZ )
58	29, 57	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
59	51, 56, 58	expap0d 11138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) # 0 )
60	50, 54, 51, 59, 56	divcanap5rd 9156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
62	40, 61	breqtrrd 4159	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) )
63		uzid 9952	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	11, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
65	19	nnnn0d 9631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
66		bernneq3 11121	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n < ( 2 ^ n ) )
67	64, 65, 66	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n < ( 2 ^ n ) )
68	33, 30, 27	ltdiv2d 10138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < ( 2 ^ n ) <-> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
69	67, 68	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
70	26, 32, 35, 62, 69	lttrd 8459	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
71	21, 25, 35	ltsubadd2d 8878	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
72	70, 71	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
73	21, 35	readdcld 8361	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) e. RR )
74	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
75	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` n ) e. RR )
76	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> A e. RR )
77	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> 0 <_ A )
78	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n e. NN )
79	23	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> k e. NN )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n < k )
81	1, 76, 77, 78, 79, 80	resqrexlemdecn 11800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` n ) )
82	74, 75, 81	ltled 8452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
83		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
84	83	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85		eqle 8423	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) = ( F ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
86	25, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n = k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
87	23	nnzd 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ZZ )
88		zleloe 9702	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
89	29, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
90	39, 89	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < k \/ n = k ) )
91	82, 86, 90	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
92	21, 34	ltaddrpd 10148	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
93	25, 21, 73, 91, 92	lelttrd 8458	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
94	72, 93	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
95	94	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
97	7, 17, 96	cvg1n 11774	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   {csn 3709   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   RR+crp 10071   seqcseq 10905   ^cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  resqrexlemex  11813