ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcvg Unicode version

Theorem resqrexlemcvg 11059
Description: Lemma for resqrex 11066. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
i, F, j, r, x    ph, i, j, r    ph, y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, i, j, r)    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 11047 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 rpssre 9693 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
74, 6fssd 5397 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 1nn 8959 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
104, 9ffvelcdmd 5672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
11 2z 9310 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1310, 12rpexpcld 10708 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
14 2rp 9687 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
1613, 15rpmulcld 9742 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
1716, 15rpmulcld 9742 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
184ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2018, 19ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR+ )
2120rpred 9725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
22 eluznn 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
2322adantll 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
2418, 23ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
2524rpred 9725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2621, 25resubcld 8367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  e.  RR )
2717ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  RR+ )
2919nnzd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 9743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3231rpred 9725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
3319nnrpd 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
3427, 33rpdivcld 9743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR+ )
3534rpred 9725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR )
362ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A  e.  RR )
373ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  0  <_  A )
38 eluzle 9569 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3938adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 11058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
41 2cn 9019 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
42 expm1t 10578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n
)  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4341, 19, 42sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4443oveq2d 5911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
( 2 ^ (
n  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  NN )
4618, 45ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  ZZ )
4846, 47rpexpcld 10708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948, 28rpmulcld 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
5049rpcnd 9727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  CC )
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  CC )
52 nnm1nn0 9246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5451, 53expcld 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
55 2ap0 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2 #  0
)
57 1zzd 9309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  ZZ )
5829, 57zsubcld 9409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
5951, 56, 58expap0d 10690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) ) #  0 )
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6144, 60eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6240, 61breqtrrd 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ n ) ) )
63 uzid 9571 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
6519nnnn0d 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN0 )
66 bernneq3 10673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <  ( 2 ^ n
) )
6764, 65, 66sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <  ( 2 ^ n ) )
6833, 30, 27ltdiv2d 9749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  ( 2 ^ n
)  <->  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
6967, 68mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 8112 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7121, 25, 35ltsubadd2d 8529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( F `
 k ) )  <  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
7270, 71mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
7321, 35readdcld 8016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  e.  RR )
7425adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7521adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
7636adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  A  e.  RR )
7737adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  0  <_  A )
7819adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  e.  NN )
7923adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  k  e.  NN )
80 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  <  k )
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 11052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <  ( F `  n )
)
8274, 75, 81ltled 8105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
83 fveq2 5534 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
8483eqcomd 2195 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
85 eqle 8078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  n ) )
8625, 84, 85syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  =  k )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
8723nnzd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ZZ )
88 zleloe 9329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) ) )
8929, 87, 88syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  < 
k  \/  n  =  k ) ) )
9039, 89mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) )
9182, 86, 90mpjaodan 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
9221, 34ltaddrpd 9759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 8111 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9472, 93jca 306 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9594ralrimiva 2563 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2563 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
977, 17, 96cvg1n 11026 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3144   {csn 3607   class class class wbr 4018    X. cxp 4642   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5895    e. cmpo 5897   CCcc 7838   RRcr 7839   0cc0 7840   1c1 7841    + caddc 7843    x. cmul 7845    < clt 8021    <_ cle 8022    - cmin 8157   # cap 8567    / cdiv 8658   NNcn 8948   2c2 8999   NN0cn0 9205   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   RR+crp 9682    seqcseq 10475   ^cexp 10549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-rp 9683  df-seqfrec 10476  df-exp 10550
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11065
  Copyright terms: Public domain W3C validator