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Theorem resqrexlemcvg 10955
Description: Lemma for resqrex 10962. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
i, F, j, r, x    ph, i, j, r    ph, y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, i, j, r)    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10943 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 rpssre 9594 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
74, 6fssd 5347 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 1nn 8862 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
104, 9ffvelrnd 5618 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
11 2z 9213 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1310, 12rpexpcld 10606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
14 2rp 9588 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
1613, 15rpmulcld 9643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
1716, 15rpmulcld 9643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
184ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
19 simplr 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2018, 19ffvelrnd 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR+ )
2120rpred 9626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
22 eluznn 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
2322adantll 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
2418, 23ffvelrnd 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
2524rpred 9626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2621, 25resubcld 8273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  e.  RR )
2717ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  RR+ )
2919nnzd 9306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 9644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3231rpred 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
3319nnrpd 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
3427, 33rpdivcld 9644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR+ )
3534rpred 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR )
362ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A  e.  RR )
373ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  0  <_  A )
38 eluzle 9472 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3938adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 10954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
41 2cn 8922 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
42 expm1t 10477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n
)  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4341, 19, 42sylancr 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4443oveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
( 2 ^ (
n  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  NN )
4618, 45ffvelrnd 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  ZZ )
4846, 47rpexpcld 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948, 28rpmulcld 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
5049rpcnd 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  CC )
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  CC )
52 nnm1nn0 9149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5451, 53expcld 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
55 2ap0 8944 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2 #  0
)
57 1zzd 9212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  ZZ )
5829, 57zsubcld 9312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
5951, 56, 58expap0d 10588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) ) #  0 )
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6144, 60eqtrd 2197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6240, 61breqtrrd 4007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ n ) ) )
63 uzid 9474 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
6519nnnn0d 9161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN0 )
66 bernneq3 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <  ( 2 ^ n
) )
6764, 65, 66sylancr 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <  ( 2 ^ n ) )
6833, 30, 27ltdiv2d 9650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  ( 2 ^ n
)  <->  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
6967, 68mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 8018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7121, 25, 35ltsubadd2d 8435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( F `
 k ) )  <  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
7270, 71mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
7321, 35readdcld 7922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  e.  RR )
7425adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7521adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
7636adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  A  e.  RR )
7737adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  0  <_  A )
7819adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  e.  NN )
7923adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  k  e.  NN )
80 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  <  k )
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 10948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <  ( F `  n )
)
8274, 75, 81ltled 8011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
83 fveq2 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
8483eqcomd 2170 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
85 eqle 7984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  n ) )
8625, 84, 85syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  =  k )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
8723nnzd 9306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ZZ )
88 zleloe 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) ) )
8929, 87, 88syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  < 
k  \/  n  =  k ) ) )
9039, 89mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) )
9182, 86, 90mpjaodan 788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
9221, 34ltaddrpd 9660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 8017 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9472, 93jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9594ralrimiva 2537 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2537 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
977, 17, 96cvg1n 10922 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443    C_ wss 3114   {csn 3573   class class class wbr 3979    X. cxp 4599   -->wf 5181   ` cfv 5185  (class class class)co 5839    e. cmpo 5841   CCcc 7745   RRcr 7746   0cc0 7747   1c1 7748    + caddc 7750    x. cmul 7752    < clt 7927    <_ cle 7928    - cmin 8063   # cap 8473    / cdiv 8562   NNcn 8851   2c2 8902   NN0cn0 9108   ZZcz 9185   ZZ>=cuz 9460   RR+crp 9583    seqcseq 10374   ^cexp 10448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-frec 6353  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-rp 9584  df-seqfrec 10375  df-exp 10449
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10961
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