Theorem resqrexlemcvg 11729

Description: Lemma for resqrex 11736. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcvg	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   i, F, j, r, x   ph, i, j, r   ph, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j, r)   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11717	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		rpssre 10015	. . . 4 |- RR+ C_ RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
7	4, 6	fssd 5527	. 2 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8		1nn 9265	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
10	4, 9	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
11		2z 9622	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 11084	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
14		2rp 10009	. . . . 5 |- 2 e. RR+
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
16	13, 15	rpmulcld 10064	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
17	16, 15	rpmulcld 10064	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR+ )
19		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	18, 19	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR+ )
21	20	rpred 10047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
22		eluznn 9950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
23	22	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
24	18, 23	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
25	24	rpred 10047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 8671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) e. RR )
27	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
28	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. RR+ )
29	19	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 11084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
31	27, 30	rpdivcld 10065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
32	31	rpred 10047	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
33	19	nnrpd 10045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
34	27, 33	rpdivcld 10065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR+ )
35	34	rpred 10047	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR )
36	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. RR )
37	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ A )
38		eluzle 9884	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
40	1, 36, 37, 19, 23, 39	resqrexlemnm 11728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
41		2cn 9325	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
42		expm1t 10953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
43	41, 19, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
44	43	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) )
45	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. NN )
46	18, 45	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
47	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. ZZ )
48	46, 47	rpexpcld 11084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 10049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
51	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. CC )
52		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
53	19, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 11060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
55		2ap0 9347	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 # 0 )
57		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. ZZ )
58	29, 57	zsubcld 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
59	51, 56, 58	expap0d 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) # 0 )
60	50, 54, 51, 59, 56	divcanap5rd 9109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
62	40, 61	breqtrrd 4142	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) )
63		uzid 9886	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	11, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
65	19	nnnn0d 9570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
66		bernneq3 11049	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n < ( 2 ^ n ) )
67	64, 65, 66	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n < ( 2 ^ n ) )
68	33, 30, 27	ltdiv2d 10071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < ( 2 ^ n ) <-> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
69	67, 68	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
70	26, 32, 35, 62, 69	lttrd 8415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
71	21, 25, 35	ltsubadd2d 8834	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
72	70, 71	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
73	21, 35	readdcld 8319	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) e. RR )
74	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
75	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` n ) e. RR )
76	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> A e. RR )
77	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> 0 <_ A )
78	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n e. NN )
79	23	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> k e. NN )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n < k )
81	1, 76, 77, 78, 79, 80	resqrexlemdecn 11722	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` n ) )
82	74, 75, 81	ltled 8408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
83		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
84	83	eqcomd 2240	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85		eqle 8381	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) = ( F ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
86	25, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n = k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
87	23	nnzd 9717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ZZ )
88		zleloe 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
89	29, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
90	39, 89	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < k \/ n = k ) )
91	82, 86, 90	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
92	21, 34	ltaddrpd 10081	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
93	25, 21, 73, 91, 92	lelttrd 8414	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
94	72, 93	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
95	94	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
97	7, 17, 96	cvg1n 11696	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   RR+crp 10004   seqcseq 10833   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11735