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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemcvg | Unicode version |
Description: Lemma for resqrex 10285. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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resqrexlemex.seq |
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resqrexlemex.a |
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resqrexlemex.agt0 |
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Ref | Expression |
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resqrexlemcvg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | resqrexlemex.seq |
. . . 4
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2 | resqrexlemex.a |
. . . 4
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3 | resqrexlemex.agt0 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | resqrexlemf 10266 |
. . 3
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5 | rpssre 9038 |
. . . 4
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6 | 5 | a1i 9 |
. . 3
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7 | 4, 6 | fssd 5123 |
. 2
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8 | 1nn 8326 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . 6
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10 | 4, 9 | ffvelrnd 5379 |
. . . . 5
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11 | 2z 8673 |
. . . . . 6
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . 5
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13 | 10, 12 | rpexpcld 9944 |
. . . 4
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14 | 2rp 9033 |
. . . . 5
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15 | 14 | a1i 9 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | rpmulcld 9084 |
. . 3
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17 | 16, 15 | rpmulcld 9084 |
. 2
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18 | 4 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . . 10
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19 | simplr 497 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 18, 19 | ffvelrnd 5379 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | rpred 9067 |
. . . . . . . 8
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22 | eluznn 8981 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | adantll 460 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 18, 23 | ffvelrnd 5379 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | rpred 9067 |
. . . . . . . 8
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26 | 21, 25 | resubcld 7761 |
. . . . . . 7
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27 | 17 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . 9
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28 | 14 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 19 | nnzd 8762 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 28, 29 | rpexpcld 9944 |
. . . . . . . . 9
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31 | 27, 30 | rpdivcld 9085 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | rpred 9067 |
. . . . . . 7
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33 | 19 | nnrpd 9066 |
. . . . . . . . 9
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34 | 27, 33 | rpdivcld 9085 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | rpred 9067 |
. . . . . . 7
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36 | 2 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . 9
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37 | 3 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . 9
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38 | eluzle 8925 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantl 271 |
. . . . . . . . 9
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40 | 1, 36, 37, 19, 23, 39 | resqrexlemnm 10277 |
. . . . . . . 8
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41 | 2cn 8386 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | expm1t 9819 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 19, 42 | sylancr 405 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | oveq2d 5606 |
. . . . . . . . 9
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45 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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46 | 18, 45 | ffvelrnd 5379 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 11 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 46, 47 | rpexpcld 9944 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48, 28 | rpmulcld 9084 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | rpcnd 9069 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | nnm1nn0 8605 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 19, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 51, 53 | expcld 9920 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 2ap0 8408 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 55 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 1zzd 8672 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | 29, 57 | zsubcld 8768 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 51, 56, 58 | expap0d 9926 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 50, 54, 51, 59, 56 | divcanap5rd 8180 |
. . . . . . . . 9
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61 | 44, 60 | eqtrd 2115 |
. . . . . . . 8
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62 | 40, 61 | breqtrrd 3837 |
. . . . . . 7
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63 | uzid 8927 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 11, 63 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . 9
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65 | 19 | nnnn0d 8617 |
. . . . . . . . 9
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66 | bernneq3 9910 |
. . . . . . . . 9
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67 | 64, 65, 66 | sylancr 405 |
. . . . . . . 8
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68 | 33, 30, 27 | ltdiv2d 9091 |
. . . . . . . 8
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69 | 67, 68 | mpbid 145 |
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70 | 26, 32, 35, 62, 69 | lttrd 7511 |
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71 | 21, 25, 35 | ltsubadd2d 7919 |
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72 | 70, 71 | mpbid 145 |
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73 | 21, 35 | readdcld 7419 |
. . . . . 6
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74 | 25 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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75 | 21 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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76 | 36 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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77 | 37 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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78 | 19 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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79 | 23 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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80 | simpr 108 |
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81 | 1, 76, 77, 78, 79, 80 | resqrexlemdecn 10271 |
. . . . . . . 8
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82 | 74, 75, 81 | ltled 7504 |
. . . . . . 7
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83 | fveq2 5252 |
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84 | 83 | eqcomd 2088 |
. . . . . . . 8
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85 | eqle 7478 |
. . . . . . . 8
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86 | 25, 84, 85 | syl2an 283 |
. . . . . . 7
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87 | 23 | nnzd 8762 |
. . . . . . . . 9
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88 | zleloe 8692 |
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89 | 29, 87, 88 | syl2anc 403 |
. . . . . . . 8
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90 | 39, 89 | mpbid 145 |
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91 | 82, 86, 90 | mpjaodan 745 |
. . . . . 6
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92 | 21, 34 | ltaddrpd 9101 |
. . . . . 6
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93 | 25, 21, 73, 91, 92 | lelttrd 7510 |
. . . . 5
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94 | 72, 93 | jca 300 |
. . . 4
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95 | 94 | ralrimiva 2440 |
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96 | 95 | ralrimiva 2440 |
. 2
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97 | 7, 17, 96 | cvg1n 10245 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 3999 ax-un 4223 ax-setind 4315 ax-iinf 4365 ax-cnex 7338 ax-resscn 7339 ax-1cn 7340 ax-1re 7341 ax-icn 7342 ax-addcl 7343 ax-addrcl 7344 ax-mulcl 7345 ax-mulrcl 7346 ax-addcom 7347 ax-mulcom 7348 ax-addass 7349 ax-mulass 7350 ax-distr 7351 ax-i2m1 7352 ax-0lt1 7353 ax-1rid 7354 ax-0id 7355 ax-rnegex 7356 ax-precex 7357 ax-cnre 7358 ax-pre-ltirr 7359 ax-pre-ltwlin 7360 ax-pre-lttrn 7361 ax-pre-apti 7362 ax-pre-ltadd 7363 ax-pre-mulgt0 7364 ax-pre-mulext 7365 ax-arch 7366 ax-caucvg 7367 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-if 3374 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-id 4083 df-po 4086 df-iso 4087 df-iord 4156 df-on 4158 df-ilim 4159 df-suc 4161 df-iom 4368 df-xp 4406 df-rel 4407 df-cnv 4408 df-co 4409 df-dm 4410 df-rn 4411 df-res 4412 df-ima 4413 df-iota 4933 df-fun 4970 df-fn 4971 df-f 4972 df-f1 4973 df-fo 4974 df-f1o 4975 df-fv 4976 df-riota 5546 df-ov 5593 df-oprab 5594 df-mpt2 5595 df-1st 5845 df-2nd 5846 df-recs 6001 df-frec 6087 df-pnf 7426 df-mnf 7427 df-xr 7428 df-ltxr 7429 df-le 7430 df-sub 7557 df-neg 7558 df-reap 7951 df-ap 7958 df-div 8037 df-inn 8316 df-2 8374 df-3 8375 df-4 8376 df-n0 8565 df-z 8646 df-uz 8914 df-rp 9029 df-iseq 9740 df-iexp 9791 |
This theorem is referenced by: resqrexlemex 10284 |
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