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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemcvg | Unicode version |
Description: Lemma for resqrex 11066. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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resqrexlemex.seq |
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resqrexlemex.a |
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resqrexlemex.agt0 |
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Ref | Expression |
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resqrexlemcvg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | resqrexlemex.seq |
. . . 4
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2 | resqrexlemex.a |
. . . 4
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3 | resqrexlemex.agt0 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | resqrexlemf 11047 |
. . 3
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5 | rpssre 9693 |
. . . 4
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6 | 5 | a1i 9 |
. . 3
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7 | 4, 6 | fssd 5397 |
. 2
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8 | 1nn 8959 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . 6
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10 | 4, 9 | ffvelcdmd 5672 |
. . . . 5
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11 | 2z 9310 |
. . . . . 6
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . 5
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13 | 10, 12 | rpexpcld 10708 |
. . . 4
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14 | 2rp 9687 |
. . . . 5
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15 | 14 | a1i 9 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | rpmulcld 9742 |
. . 3
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17 | 16, 15 | rpmulcld 9742 |
. 2
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18 | 4 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
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19 | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 18, 19 | ffvelcdmd 5672 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | rpred 9725 |
. . . . . . . 8
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22 | eluznn 9629 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | adantll 476 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 18, 23 | ffvelcdmd 5672 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | rpred 9725 |
. . . . . . . 8
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26 | 21, 25 | resubcld 8367 |
. . . . . . 7
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27 | 17 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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28 | 14 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 19 | nnzd 9403 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 28, 29 | rpexpcld 10708 |
. . . . . . . . 9
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31 | 27, 30 | rpdivcld 9743 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | rpred 9725 |
. . . . . . 7
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33 | 19 | nnrpd 9723 |
. . . . . . . . 9
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34 | 27, 33 | rpdivcld 9743 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | rpred 9725 |
. . . . . . 7
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36 | 2 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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37 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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38 | eluzle 9569 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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40 | 1, 36, 37, 19, 23, 39 | resqrexlemnm 11058 |
. . . . . . . 8
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41 | 2cn 9019 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | expm1t 10578 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 19, 42 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | oveq2d 5911 |
. . . . . . . . 9
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45 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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46 | 18, 45 | ffvelcdmd 5672 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 11 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 46, 47 | rpexpcld 10708 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48, 28 | rpmulcld 9742 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | rpcnd 9727 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | nnm1nn0 9246 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 19, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 51, 53 | expcld 10684 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 2ap0 9041 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 55 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 1zzd 9309 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | 29, 57 | zsubcld 9409 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 51, 56, 58 | expap0d 10690 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 50, 54, 51, 59, 56 | divcanap5rd 8804 |
. . . . . . . . 9
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61 | 44, 60 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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62 | 40, 61 | breqtrrd 4046 |
. . . . . . 7
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63 | uzid 9571 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 11, 63 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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65 | 19 | nnnn0d 9258 |
. . . . . . . . 9
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66 | bernneq3 10673 |
. . . . . . . . 9
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67 | 64, 65, 66 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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68 | 33, 30, 27 | ltdiv2d 9749 |
. . . . . . . 8
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69 | 67, 68 | mpbid 147 |
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70 | 26, 32, 35, 62, 69 | lttrd 8112 |
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71 | 21, 25, 35 | ltsubadd2d 8529 |
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72 | 70, 71 | mpbid 147 |
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73 | 21, 35 | readdcld 8016 |
. . . . . 6
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74 | 25 | adantr 276 |
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75 | 21 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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76 | 36 | adantr 276 |
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77 | 37 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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78 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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79 | 23 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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80 | simpr 110 |
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81 | 1, 76, 77, 78, 79, 80 | resqrexlemdecn 11052 |
. . . . . . . 8
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82 | 74, 75, 81 | ltled 8105 |
. . . . . . 7
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83 | fveq2 5534 |
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84 | 83 | eqcomd 2195 |
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85 | eqle 8078 |
. . . . . . . 8
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86 | 25, 84, 85 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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87 | 23 | nnzd 9403 |
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88 | zleloe 9329 |
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89 | 29, 87, 88 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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90 | 39, 89 | mpbid 147 |
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91 | 82, 86, 90 | mpjaodan 799 |
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92 | 21, 34 | ltaddrpd 9759 |
. . . . . 6
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93 | 25, 21, 73, 91, 92 | lelttrd 8111 |
. . . . 5
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94 | 72, 93 | jca 306 |
. . . 4
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95 | 94 | ralrimiva 2563 |
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96 | 95 | ralrimiva 2563 |
. 2
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97 | 7, 17, 96 | cvg1n 11026 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 ax-caucvg 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-2 9007 df-3 9008 df-4 9009 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-rp 9683 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 |
This theorem is referenced by: resqrexlemex 11065 |
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