Theorem resqrexlemcvg 11570

Description: Lemma for resqrex 11577. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcvg	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   i, F, j, r, x   ph, i, j, r   ph, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j, r)   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11558	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		rpssre 9889	. . . 4 |- RR+ C_ RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
7	4, 6	fssd 5492	. 2 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8		1nn 9144	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
10	4, 9	ffvelcdmd 5779	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
11		2z 9497	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 10949	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
14		2rp 9883	. . . . 5 |- 2 e. RR+
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
16	13, 15	rpmulcld 9938	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
17	16, 15	rpmulcld 9938	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR+ )
19		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	18, 19	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR+ )
21	20	rpred 9921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
22		eluznn 9824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
23	22	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
24	18, 23	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
25	24	rpred 9921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 8550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) e. RR )
27	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
28	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. RR+ )
29	19	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
31	27, 30	rpdivcld 9939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
32	31	rpred 9921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
33	19	nnrpd 9919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
34	27, 33	rpdivcld 9939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR+ )
35	34	rpred 9921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) e. RR )
36	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. RR )
37	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ A )
38		eluzle 9758	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
40	1, 36, 37, 19, 23, 39	resqrexlemnm 11569	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
41		2cn 9204	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
42		expm1t 10819	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
43	41, 19, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) )
44	43	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) )
45	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. NN )
46	18, 45	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
47	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. ZZ )
48	46, 47	rpexpcld 10949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 9938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 9923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
51	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 e. CC )
52		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
53	19, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 10925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
55		2ap0 9226	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 2 # 0 )
57		1zzd 9496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. ZZ )
58	29, 57	zsubcld 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
59	51, 56, 58	expap0d 10931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ ( n - 1 ) ) # 0 )
60	50, 54, 51, 59, 56	divcanap5rd 8988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( ( 2 ^ ( n - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( n - 1 ) ) ) )
62	40, 61	breqtrrd 4114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) )
63		uzid 9760	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64	11, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
65	19	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN0 )
66		bernneq3 10914	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n < ( 2 ^ n ) )
67	64, 65, 66	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n < ( 2 ^ n ) )
68	33, 30, 27	ltdiv2d 9945	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < ( 2 ^ n ) <-> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
69	67, 68	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ n ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
70	26, 32, 35, 62, 69	lttrd 8295	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) )
71	21, 25, 35	ltsubadd2d 8713	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( F ` k ) ) < ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
72	70, 71	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
73	21, 35	readdcld 8199	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) e. RR )
74	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
75	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` n ) e. RR )
76	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> A e. RR )
77	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> 0 <_ A )
78	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n e. NN )
79	23	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> k e. NN )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> n < k )
81	1, 76, 77, 78, 79, 80	resqrexlemdecn 11563	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` n ) )
82	74, 75, 81	ltled 8288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
83		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
84	83	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85		eqle 8261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) = ( F ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
86	25, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ n = k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
87	23	nnzd 9591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ZZ )
88		zleloe 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
89	29, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n < k \/ n = k ) ) )
90	39, 89	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n < k \/ n = k ) )
91	82, 86, 90	mpjaodan 803	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` n ) )
92	21, 34	ltaddrpd 9955	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
93	25, 21, 73, 91, 92	lelttrd 8294	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) )
94	72, 93	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
95	94	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. 2 ) / n ) ) ) )
97	7, 17, 96	cvg1n 11537	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( r + x ) /\ r < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   {csn 3667   class class class wbr 4086   X. cxp 4721   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   RR+crp 9878   seqcseq 10699   ^cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11576