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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemcvg | Unicode version |
Description: Lemma for resqrex 10830. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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resqrexlemex.seq |
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resqrexlemex.a |
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resqrexlemex.agt0 |
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Ref | Expression |
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resqrexlemcvg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | resqrexlemex.seq |
. . . 4
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2 | resqrexlemex.a |
. . . 4
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3 | resqrexlemex.agt0 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | resqrexlemf 10811 |
. . 3
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5 | rpssre 9481 |
. . . 4
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6 | 5 | a1i 9 |
. . 3
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7 | 4, 6 | fssd 5293 |
. 2
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8 | 1nn 8755 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . 6
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10 | 4, 9 | ffvelrnd 5564 |
. . . . 5
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11 | 2z 9106 |
. . . . . 6
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . 5
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13 | 10, 12 | rpexpcld 10479 |
. . . 4
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14 | 2rp 9475 |
. . . . 5
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15 | 14 | a1i 9 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | rpmulcld 9530 |
. . 3
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17 | 16, 15 | rpmulcld 9530 |
. 2
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18 | 4 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . 10
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19 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 18, 19 | ffvelrnd 5564 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | rpred 9513 |
. . . . . . . 8
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22 | eluznn 9421 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | adantll 468 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 18, 23 | ffvelrnd 5564 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | rpred 9513 |
. . . . . . . 8
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26 | 21, 25 | resubcld 8167 |
. . . . . . 7
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27 | 17 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . 9
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28 | 14 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 19 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 28, 29 | rpexpcld 10479 |
. . . . . . . . 9
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31 | 27, 30 | rpdivcld 9531 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | rpred 9513 |
. . . . . . 7
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33 | 19 | nnrpd 9511 |
. . . . . . . . 9
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34 | 27, 33 | rpdivcld 9531 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | rpred 9513 |
. . . . . . 7
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36 | 2 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . 9
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37 | 3 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . 9
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38 | eluzle 9362 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
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40 | 1, 36, 37, 19, 23, 39 | resqrexlemnm 10822 |
. . . . . . . 8
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41 | 2cn 8815 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | expm1t 10352 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 19, 42 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . . 9
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45 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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46 | 18, 45 | ffvelrnd 5564 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 11 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 46, 47 | rpexpcld 10479 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48, 28 | rpmulcld 9530 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | rpcnd 9515 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | nnm1nn0 9042 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 19, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 51, 53 | expcld 10455 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 2ap0 8837 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 55 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 1zzd 9105 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | 29, 57 | zsubcld 9202 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 51, 56, 58 | expap0d 10461 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 50, 54, 51, 59, 56 | divcanap5rd 8602 |
. . . . . . . . 9
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61 | 44, 60 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . 8
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62 | 40, 61 | breqtrrd 3964 |
. . . . . . 7
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63 | uzid 9364 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 11, 63 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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65 | 19 | nnnn0d 9054 |
. . . . . . . . 9
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66 | bernneq3 10445 |
. . . . . . . . 9
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67 | 64, 65, 66 | sylancr 411 |
. . . . . . . 8
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68 | 33, 30, 27 | ltdiv2d 9537 |
. . . . . . . 8
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69 | 67, 68 | mpbid 146 |
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70 | 26, 32, 35, 62, 69 | lttrd 7912 |
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71 | 21, 25, 35 | ltsubadd2d 8329 |
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72 | 70, 71 | mpbid 146 |
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73 | 21, 35 | readdcld 7819 |
. . . . . 6
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74 | 25 | adantr 274 |
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75 | 21 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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76 | 36 | adantr 274 |
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77 | 37 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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78 | 19 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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79 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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80 | simpr 109 |
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81 | 1, 76, 77, 78, 79, 80 | resqrexlemdecn 10816 |
. . . . . . . 8
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82 | 74, 75, 81 | ltled 7905 |
. . . . . . 7
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83 | fveq2 5429 |
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84 | 83 | eqcomd 2146 |
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85 | eqle 7879 |
. . . . . . . 8
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86 | 25, 84, 85 | syl2an 287 |
. . . . . . 7
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87 | 23 | nnzd 9196 |
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88 | zleloe 9125 |
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89 | 29, 87, 88 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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90 | 39, 89 | mpbid 146 |
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91 | 82, 86, 90 | mpjaodan 788 |
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92 | 21, 34 | ltaddrpd 9547 |
. . . . . 6
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93 | 25, 21, 73, 91, 92 | lelttrd 7911 |
. . . . 5
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94 | 72, 93 | jca 304 |
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95 | 94 | ralrimiva 2508 |
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96 | 95 | ralrimiva 2508 |
. 2
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97 | 7, 17, 96 | cvg1n 10790 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 |
This theorem is referenced by: resqrexlemex 10829 |
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