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Theorem resqrexlemcvg 10351
Description: Lemma for resqrex 10358. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
i, F, j, r, x    ph, i, j, r    ph, y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, i, j, r)    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10339 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 rpssre 9079 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
74, 6fssd 5139 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 1nn 8371 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
104, 9ffvelrnd 5400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
11 2z 8714 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1310, 12rpexpcld 10010 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
14 2rp 9074 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
1613, 15rpmulcld 9125 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
1716, 15rpmulcld 9125 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
184ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
19 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2018, 19ffvelrnd 5400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR+ )
2120rpred 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
22 eluznn 9022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
2322adantll 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
2418, 23ffvelrnd 5400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
2524rpred 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2621, 25resubcld 7806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  e.  RR )
2717ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  RR+ )
2919nnzd 8803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 9126 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3231rpred 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
3319nnrpd 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
3427, 33rpdivcld 9126 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR+ )
3534rpred 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR )
362ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A  e.  RR )
373ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  0  <_  A )
38 eluzle 8966 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3938adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 10350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
41 2cn 8431 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
42 expm1t 9885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n
)  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4341, 19, 42sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4443oveq2d 5631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
( 2 ^ (
n  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  NN )
4618, 45ffvelrnd 5400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  ZZ )
4846, 47rpexpcld 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948, 28rpmulcld 9125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
5049rpcnd 9110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  CC )
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  CC )
52 nnm1nn0 8650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5451, 53expcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
55 2ap0 8453 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2 #  0
)
57 1zzd 8713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  ZZ )
5829, 57zsubcld 8809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
5951, 56, 58expap0d 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) ) #  0 )
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6144, 60eqtrd 2117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6240, 61breqtrrd 3848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ n ) ) )
63 uzid 8968 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6411, 63ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
6519nnnn0d 8662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN0 )
66 bernneq3 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <  ( 2 ^ n
) )
6764, 65, 66sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <  ( 2 ^ n ) )
6833, 30, 27ltdiv2d 9132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  ( 2 ^ n
)  <->  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
6967, 68mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 7556 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7121, 25, 35ltsubadd2d 7964 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( F `
 k ) )  <  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
7270, 71mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
7321, 35readdcld 7464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  e.  RR )
7425adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7521adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
7636adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  A  e.  RR )
7737adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  0  <_  A )
7819adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  e.  NN )
7923adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  k  e.  NN )
80 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  <  k )
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 10344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <  ( F `  n )
)
8274, 75, 81ltled 7549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
83 fveq2 5270 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
8483eqcomd 2090 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
85 eqle 7523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  n ) )
8625, 84, 85syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  =  k )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
8723nnzd 8803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ZZ )
88 zleloe 8733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) ) )
8929, 87, 88syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  < 
k  \/  n  =  k ) ) )
9039, 89mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) )
9182, 86, 90mpjaodan 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
9221, 34ltaddrpd 9142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 7555 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9472, 93jca 300 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9594ralrimiva 2442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2442 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
977, 17, 96cvg1n 10318 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2988   {csn 3431   class class class wbr 3822    X. cxp 4411   -->wf 4979   ` cfv 4983  (class class class)co 5615    |-> cmpt2 5617   CCcc 7295   RRcr 7296   0cc0 7297   1c1 7298    + caddc 7300    x. cmul 7302    < clt 7469    <_ cle 7470    - cmin 7600   # cap 8002    / cdiv 8081   NNcn 8360   2c2 8410   NN0cn0 8609   ZZcz 8686   ZZ>=cuz 8954   RR+crp 9069    seqcseq 9782   ^cexp 9856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9783  df-iexp 9857
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10357
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