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Theorem resqrexlemcvg 10278
Description: Lemma for resqrex 10285. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
i, F, j, r, x    ph, i, j, r    ph, y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, i, j, r)    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10266 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 rpssre 9038 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
74, 6fssd 5123 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
8 1nn 8326 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
104, 9ffvelrnd 5379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
11 2z 8673 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1310, 12rpexpcld 9944 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
14 2rp 9033 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
1613, 15rpmulcld 9084 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
1716, 15rpmulcld 9084 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
184ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
19 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2018, 19ffvelrnd 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR+ )
2120rpred 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
22 eluznn 8981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
2322adantll 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
2418, 23ffvelrnd 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
2524rpred 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2621, 25resubcld 7761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  e.  RR )
2717ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  RR+ )
2919nnzd 8762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 9944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 9085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3231rpred 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
3319nnrpd 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
3427, 33rpdivcld 9085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR+ )
3534rpred 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  e.  RR )
362ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A  e.  RR )
373ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  0  <_  A )
38 eluzle 8925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3938adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
41 2cn 8386 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
42 expm1t 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n
)  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4341, 19, 42sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ n )  =  ( ( 2 ^ ( n  -  1 ) )  x.  2 ) )
4443oveq2d 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
( 2 ^ (
n  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  NN )
4618, 45ffvelrnd 5379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  ZZ )
4846, 47rpexpcld 9944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948, 28rpmulcld 9084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  RR+ )
5049rpcnd 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  e.  CC )
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2  e.  CC )
52 nnm1nn0 8605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5451, 53expcld 9920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
55 2ap0 8408 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  2 #  0
)
57 1zzd 8672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  ZZ )
5829, 57zsubcld 8768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
5951, 56, 58expap0d 9926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 2 ^ ( n  - 
1 ) ) #  0 )
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 8180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( ( 2 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6144, 60eqtrd 2115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( n  -  1 ) ) ) )
6240, 61breqtrrd 3837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ n ) ) )
63 uzid 8927 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6411, 63ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
6519nnnn0d 8617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN0 )
66 bernneq3 9910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <  ( 2 ^ n
) )
6764, 65, 66sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <  ( 2 ^ n ) )
6833, 30, 27ltdiv2d 9091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  ( 2 ^ n
)  <->  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
6967, 68mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 7511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  -  ( F `  k ) )  < 
( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )
7121, 25, 35ltsubadd2d 7919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( F `
 k ) )  <  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
7270, 71mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
7321, 35readdcld 7419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  e.  RR )
7425adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
7521adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
7636adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  A  e.  RR )
7737adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  0  <_  A )
7819adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  e.  NN )
7923adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  k  e.  NN )
80 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  n  <  k )
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 10271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <  ( F `  n )
)
8274, 75, 81ltled 7504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  <  k
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
83 fveq2 5252 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
8483eqcomd 2088 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
85 eqle 7478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  n ) )
8625, 84, 85syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  n  =  k )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
8723nnzd 8762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ZZ )
88 zleloe 8692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) ) )
8929, 87, 88syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  < 
k  \/  n  =  k ) ) )
9039, 89mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <  k  \/  n  =  k ) )
9182, 86, 90mpjaodan 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  n )
)
9221, 34ltaddrpd 9101 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 7510 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) )
9472, 93jca 300 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9594ralrimiva 2440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2440 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  2 )  /  n ) ) ) )
977, 17, 96cvg1n 10245 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
r  +  x )  /\  r  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354    C_ wss 2984   {csn 3422   class class class wbr 3811    X. cxp 4398   -->wf 4964   ` cfv 4968  (class class class)co 5590    |-> cmpt2 5592   CCcc 7250   RRcr 7251   0cc0 7252   1c1 7253    + caddc 7255    x. cmul 7257    < clt 7424    <_ cle 7425    - cmin 7555   # cap 7957    / cdiv 8036   NNcn 8315   2c2 8365   NN0cn0 8564   ZZcz 8645   ZZ>=cuz 8913   RR+crp 9028    seqcseq 9739   ^cexp 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-rp 9029  df-iseq 9740  df-iexp 9791
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10284
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