ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqle GIF version

Theorem eqle 7819
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 7812 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
2 breq2 3901 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
32biimpac 294 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
41, 3sylan 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cr 7583  cle 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltirr 7696
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770
This theorem is referenced by:  eqlei  7821  eqlei2  7822  zletric  9052  zlelttric  9053  zltnle  9054  zleloe  9055  zdcle  9081  qletric  9972  qlelttric  9973  qltnle  9974  iseqf1olemkle  10208  resqrexlemcvg  10742  resqrexlemglsq  10745  cjcn2  11036  cvgratz  11252
  Copyright terms: Public domain W3C validator