Theorem eqle 8137

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 8129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
2		breq2 4038	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	biimpac 298	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 3	sylan 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  eqlei  8139  eqlei2  8140  zletric  9389  zlelttric  9390  zltnle  9391  zleloe  9392  zdcle  9421  qletric  10350  qlelttric  10351  qltnle  10352  iseqf1olemkle  10608  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemglsq  11206  cjcn2  11500  cvgratz  11716