ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qltnle Unicode version

Theorem qltnle 9653
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qltnle  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem qltnle
StepHypRef Expression
1 qre 9108 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
2 qre 9108 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
3 lenlt 7559 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
41, 2, 3syl2anr 284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
54biimpd 142 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <_  A  ->  -.  A  <  B
) )
65con2d 589 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <_  A
) )
7 qtri3or 9650 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
8 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
10 eqcom 2090 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
11 eqle 7574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =  A )  ->  B  <_  A )
1210, 11sylan2b 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  B  <_  A )
1312ex 113 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A ) )
1413adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
151, 14sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
16 pm2.24 586 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
1715, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
18 ltle 7570 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
191, 2, 18syl2anr 284 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
2019, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
219, 17, 203jaod 1240 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
227, 21mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) )
236, 22impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7347    < clt 7520    <_ cle 7521   QQcq 9102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-q 9103  df-rp 9133
This theorem is referenced by:  flqlt  9686
  Copyright terms: Public domain W3C validator