Theorem qltnle 10423

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qltnle	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem qltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9781	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
2		qre 9781	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
3		lenlt 8183	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 625	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		qtri3or 10420	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2209	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 8199	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 115	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 622	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 8195	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1317	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 129	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143   QQcq 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811

This theorem is referenced by:  xqltnle  10447  flqlt  10463  bitsfzo  12381