Theorem qltnle 10054

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qltnle	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem qltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9444	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
2		qre 9444	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
3		lenlt 7864	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 143	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 614	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		qtri3or 10051	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2142	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 285	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 114	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 611	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 7875	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1283	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 128	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 962   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825   QQcq 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  flqlt  10087