Theorem exmidomniim 7445

Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 7446. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomniim	|- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4314	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o )
2		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 |- (DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
4	3	orcomd 737	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
6		ffvelcdm 5815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. 2o )
7		df2o3 6675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
8	6, 7	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. { (/) , 1o } )
9		elpri 3717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { (/) , 1o } -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
11	10	ord 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( -. ( f ` y ) = (/) -> ( f ` y ) = 1o ) )
12	11	ralimdva 2611	. . . . . . . . . 10 |- ( f : x --> 2o -> ( A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) -> A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
13	12	con3d 636	. . . . . . . . 9 |- ( f : x --> 2o -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
15		exmidexmid 4314	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) )
16		dfrex2dc 2535	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
19	14, 18	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> E. y e. x ( f ` y ) = (/) ) )
20	19	orim1d 795	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
21	5, 20	mpd 13	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
22	21	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
23	22	alrimiv 1923	. . 3 |- (EXMID -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
24		isomni 7440	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
25	24	elv 2819	. . 3 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
26	23, 25	sylibr 134	. 2 |- (EXMID -> x e. Omni )
27	26	alrimiv 1923	1 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   {cpr 3695  EXMIDwem 4312   -->wf 5353   ` cfv 5357   1oc1o 6653   2oc2o 6654  Omnicomni 7438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-exmid 4313  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-omni 7439

This theorem is referenced by:  exmidomni  7446