Theorem exmidomniim 7258

Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 7259. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomniim	|- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4248	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o )
2		exmiddc 838	. . . . . . . . 9 |- (DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
4	3	orcomd 731	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
6		ffvelcdm 5726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. 2o )
7		df2o3 6529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
8	6, 7	eleqtrdi 2299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. { (/) , 1o } )
9		elpri 3661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { (/) , 1o } -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
11	10	ord 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( -. ( f ` y ) = (/) -> ( f ` y ) = 1o ) )
12	11	ralimdva 2574	. . . . . . . . . 10 |- ( f : x --> 2o -> ( A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) -> A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
13	12	con3d 632	. . . . . . . . 9 |- ( f : x --> 2o -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
15		exmidexmid 4248	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) )
16		dfrex2dc 2498	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
19	14, 18	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> E. y e. x ( f ` y ) = (/) ) )
20	19	orim1d 789	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
21	5, 20	mpd 13	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
22	21	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
23	22	alrimiv 1898	. . 3 |- (EXMID -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
24		isomni 7253	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
25	24	elv 2777	. . 3 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
26	23, 25	sylibr 134	. 2 |- (EXMID -> x e. Omni )
27	26	alrimiv 1898	1 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   (/)c0 3464   {cpr 3639  EXMIDwem 4246   -->wf 5276   ` cfv 5280   1oc1o 6508   2oc2o 6509  Omnicomni 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-exmid 4247  df-id 4348  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-1o 6515  df-2o 6516  df-omni 7252

This theorem is referenced by:  exmidomni  7259