Theorem exmidomniim 6925

Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 6926. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomniim	|- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4060	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o )
2		exmiddc 788	. . . . . . . . 9 |- (DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
4	3	orcomd 689	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
5	4	adantr 272	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
6		ffvelrn 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. 2o )
7		df2o3 6257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
8	6, 7	syl6eleq 2192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. { (/) , 1o } )
9		elpri 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { (/) , 1o } -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
11	10	ord 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( -. ( f ` y ) = (/) -> ( f ` y ) = 1o ) )
12	11	ralimdva 2458	. . . . . . . . . 10 |- ( f : x --> 2o -> ( A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) -> A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
13	12	con3d 601	. . . . . . . . 9 |- ( f : x --> 2o -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
14	13	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
15		exmidexmid 4060	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) )
16		dfrex2dc 2387	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
18	17	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
19	14, 18	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> E. y e. x ( f ` y ) = (/) ) )
20	19	orim1d 742	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
21	5, 20	mpd 13	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
22	21	ex 114	. . . 4 |- (EXMID -> ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
23	22	alrimiv 1813	. . 3 |- (EXMID -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
24		vex 2644	. . . 4 |- x e. _V
25		isomni 6920	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
26	24, 25	ax-mp 7	. . 3 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
27	23, 26	sylibr 133	. 2 |- (EXMID -> x e. Omni )
28	27	alrimiv 1813	1 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670  DECID wdc 786   A.wal 1297   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   (/)c0 3310   {cpr 3475  EXMIDwem 4058   -->wf 5055   ` cfv 5059   1oc1o 6236   2oc2o 6237  Omnicomni 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-exmid 4059  df-id 4153  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-1o 6243  df-2o 6244  df-omni 6918

This theorem is referenced by:  exmidomni  6926