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Theorem exmidomniim 7020
Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 7021. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidomniim  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim
Dummy variables  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exmidexmid 4127 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  -> DECID  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o )
2 exmiddc 822 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
43orcomd 719 . . . . . . 7  |-  (EXMID  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
54adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
6 ffvelrn 5560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  2o )
7 df2o3 6334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
86, 7eleqtrdi 2233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  { (/) ,  1o } )
9 elpri 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  y )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( f `
 y )  =  (/)  \/  ( f `  y )  =  1o ) )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  (/)  \/  ( f `  y
)  =  1o ) )
1110ord 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  ( f `
 y )  =  (/)  ->  ( f `  y )  =  1o ) )
1211ralimdva 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/)  ->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
1312con3d 621 . . . . . . . . 9  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `
 y )  =  (/) ) )
1413adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
15 exmidexmid 4127 . . . . . . . . . 10  |-  (EXMID  -> DECID  E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/) )
16 dfrex2dc 2429 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  (
f `  y )  =  (/) ) )
1817adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1914, 18sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/) ) )
2019orim1d 777 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( ( -. 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o )  -> 
( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) ) )
215, 20mpd 13 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
2221ex 114 . . . 4  |-  (EXMID  ->  (
f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2322alrimiv 1847 . . 3  |-  (EXMID  ->  A. f
( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  (
f `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) ) )
24 isomni 7015 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. Omni  <->  A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) ) )
2524elv 2693 . . 3  |-  ( x  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2623, 25sylibr 133 . 2  |-  (EXMID  ->  x  e. Omni )
2726alrimiv 1847 1  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820   A.wal 1330    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   (/)c0 3367   {cpr 3532  EXMIDwem 4125   -->wf 5126   ` cfv 5130   1oc1o 6313   2oc2o 6314  Omnicomni 7011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-exmid 4126  df-id 4222  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-1o 6320  df-2o 6321  df-omni 7013
This theorem is referenced by:  exmidomni  7021
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