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Theorem exmidomniim 6744
Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 6745. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidomniim  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim
Dummy variables  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exmidexmid 4007 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  -> DECID  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o )
2 exmiddc 780 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
43orcomd 681 . . . . . . 7  |-  (EXMID  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
54adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
6 ffvelrn 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  2o )
7 df2o3 6151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
86, 7syl6eleq 2177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  { (/) ,  1o } )
9 elpri 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  y )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( f `
 y )  =  (/)  \/  ( f `  y )  =  1o ) )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  (/)  \/  ( f `  y
)  =  1o ) )
1110ord 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  ( f `
 y )  =  (/)  ->  ( f `  y )  =  1o ) )
1211ralimdva 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/)  ->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
1312con3d 594 . . . . . . . . 9  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `
 y )  =  (/) ) )
1413adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
15 exmidexmid 4007 . . . . . . . . . 10  |-  (EXMID  -> DECID  E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/) )
16 dfrex2dc 2367 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  (
f `  y )  =  (/) ) )
1817adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1914, 18sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/) ) )
2019orim1d 734 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( ( -. 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o )  -> 
( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) ) )
215, 20mpd 13 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
2221ex 113 . . . 4  |-  (EXMID  ->  (
f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2322alrimiv 1799 . . 3  |-  (EXMID  ->  A. f
( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  (
f `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) ) )
24 vex 2618 . . . 4  |-  x  e. 
_V
25 isomni 6739 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. Omni  <->  A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) ) )
2624, 25ax-mp 7 . . 3  |-  ( x  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2723, 26sylibr 132 . 2  |-  (EXMID  ->  x  e. Omni )
2827alrimiv 1799 1  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   (/)c0 3275   {cpr 3432  EXMIDwem 4005   -->wf 4979   ` cfv 4983   1oc1o 6130   2oc2o 6131  Omnicomni 6735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-exmid 4006  df-id 4096  df-suc 4174  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-1o 6137  df-2o 6138  df-omni 6737
This theorem is referenced by:  exmidomni  6745
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