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Theorem exmidomniim 7135
Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 7136. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidomniim  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim
Dummy variables  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exmidexmid 4195 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  -> DECID  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o )
2 exmiddc 836 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
43orcomd 729 . . . . . . 7  |-  (EXMID  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
54adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
6 ffvelcdm 5647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  2o )
7 df2o3 6427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
86, 7eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( f `  y
)  e.  { (/) ,  1o } )
9 elpri 3615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  y )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( f `
 y )  =  (/)  \/  ( f `  y )  =  1o ) )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  (/)  \/  ( f `  y
)  =  1o ) )
1110ord 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : x --> 2o  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  ( f `
 y )  =  (/)  ->  ( f `  y )  =  1o ) )
1211ralimdva 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/)  ->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) )
1312con3d 631 . . . . . . . . 9  |-  ( f : x --> 2o  ->  ( -.  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o 
->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `
 y )  =  (/) ) )
1413adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
15 exmidexmid 4195 . . . . . . . . . 10  |-  (EXMID  -> DECID  E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/) )
16 dfrex2dc 2468 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  (EXMID  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  (
f `  y )  =  (/) ) )
1817adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  -.  A. y  e.  x  -.  ( f `  y
)  =  (/) ) )
1914, 18sylibrd 169 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( -.  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o  ->  E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/) ) )
2019orim1d 787 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( ( -. 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o )  -> 
( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) ) )
215, 20mpd 13 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\  f : x --> 2o )  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o ) )
2221ex 115 . . . 4  |-  (EXMID  ->  (
f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2322alrimiv 1874 . . 3  |-  (EXMID  ->  A. f
( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  (
f `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o ) ) )
24 isomni 7130 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. Omni  <->  A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) ) )
2524elv 2741 . . 3  |-  ( x  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
2623, 25sylibr 134 . 2  |-  (EXMID  ->  x  e. Omni )
2726alrimiv 1874 1  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   {cpr 3593  EXMIDwem 4193   -->wf 5210   ` cfv 5214   1oc1o 6406   2oc2o 6407  Omnicomni 7128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-exmid 4194  df-id 4292  df-suc 4370  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-1o 6413  df-2o 6414  df-omni 7129
This theorem is referenced by:  exmidomni  7136
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