Theorem exmidomniim 7013

Description: Given excluded middle, every set is omniscient. Remark following Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. This is one direction of the biconditional exmidomni 7014. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomniim	|- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomniim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4120	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o )
2		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 |- (DECID A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
4	3	orcomd 718	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
5	4	adantr 274	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
6		ffvelrn 5553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. 2o )
7		df2o3 6327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
8	6, 7	eleqtrdi 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( f ` y ) e. { (/) , 1o } )
9		elpri 3550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { (/) , 1o } -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = (/) \/ ( f ` y ) = 1o ) )
11	10	ord 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : x --> 2o /\ y e. x ) -> ( -. ( f ` y ) = (/) -> ( f ` y ) = 1o ) )
12	11	ralimdva 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( f : x --> 2o -> ( A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) -> A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
13	12	con3d 620	. . . . . . . . 9 |- ( f : x --> 2o -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
15		exmidexmid 4120	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) )
16		dfrex2dc 2428	. . . . . . . . . 10 |- (DECID E. y e. x ( f ` y ) = (/) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- (EXMID -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
18	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> -. A. y e. x -. ( f ` y ) = (/) ) )
19	14, 18	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o -> E. y e. x ( f ` y ) = (/) ) )
20	19	orim1d 776	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( ( -. A. y e. x ( f ` y ) = 1o \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
21	5, 20	mpd 13	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : x --> 2o ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) )
22	21	ex 114	. . . 4 |- (EXMID -> ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
23	22	alrimiv 1846	. . 3 |- (EXMID -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
24		isomni 7008	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
25	24	elv 2690	. . 3 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
26	23, 25	sylibr 133	. 2 |- (EXMID -> x e. Omni )
27	26	alrimiv 1846	1 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {cpr 3528  EXMIDwem 4118   -->wf 5119   ` cfv 5123   1oc1o 6306   2oc2o 6307  Omnicomni 7004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-exmid 4119  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-omni 7006

This theorem is referenced by:  exmidomni  7014