Theorem exmidomni 7118

Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomni	|- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni

Dummy variables u f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidomniim 7117	. 2 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )
2		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
3		eleq1w 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x e. Omni <-> u e. Omni ) )
4	2, 3	spcv 2824	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x e. Omni -> u e. Omni )
5		xpeq1 4625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x X. { (/) } ) = ( u X. { (/) } ) )
6	5	fveq1d 5498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = ( ( u X. { (/) } ) ` y ) )
7	6	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
8	7	rexeqbi1dv 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
9	6	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
10	9	raleqbi1dv 2673	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
11	8, 10	orbi12d 788	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
12		vex 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
13		isomni 7112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
15	14	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Omni -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
16		0ex 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
17	16	prid1 3689	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. { (/) , 1o }
18		df2o3 6409	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = { (/) , 1o }
19	17, 18	eleqtrri 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
20	19	fconst6 5397	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. { (/) } ) : x --> 2o
21		p0ex 4174	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
22	12, 21	xpex 4726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x X. { (/) } ) e. _V
23		feq1 5330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f : x --> 2o <-> ( x X. { (/) } ) : x --> 2o ) )
24		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f ` y ) = ( ( x X. { (/) } ) ` y ) )
25	24	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = (/) <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
26	25	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
27	24	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = 1o <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
28	27	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o <-> A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
29	26, 28	orbi12d 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
30	23, 29	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) <-> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) ) )
31	22, 30	spcv 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) -> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
32	15, 20, 31	mpisyl 1439	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Omni -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
33	11, 32	vtoclga 2796	. . . . . . . . 9 |- ( u e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A. x x e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
35	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
36		simplr 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u C_ { (/) } )
37		rexm 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> E. y y e. u )
38		sssnm 3741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y y e. u -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
40	39	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
41	36, 40	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u = { (/) } )
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> u = { (/) } ) )
43		nfv 1521	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } )
44		nfra1 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o
45	43, 44	nfan 1558	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
46		nfcv 2312	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y u
47		nfcv 2312	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y (/)
48		1n0 6411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
49	48	neii 2342	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o = (/)
50		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
51	50	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
52	16	fvconst2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. u -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
54	51, 53	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> 1o = (/) )
55	54	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> 1o = (/) ) )
56	49, 55	mtoi 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> -. y e. u )
57	56	pm2.21d 614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> y e. (/) ) )
58	45, 46, 47, 57	ssrd 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u C_ (/) )
59		ss0 3455	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ (/) -> u = (/) )
60	58, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u = (/) )
61	60	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o -> u = (/) ) )
62	42, 61	orim12d 781	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) ) )
63	35, 62	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) )
64	63	orcomd 724	. . . . 5 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) )
65	64	ex 114	. . . 4 |- ( A. x x e. Omni -> ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
66	65	alrimiv 1867	. . 3 |- ( A. x x e. Omni -> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
67		exmid01 4184	. . 3 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
68	66, 67	sylibr 133	. 2 |- ( A. x x e. Omni -> EXMID )
69	1, 68	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584  EXMIDwem 4180   X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198   1oc1o 6388   2oc2o 6389  Omnicomni 7110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-exmid 4181  df-id 4278  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-omni 7111

This theorem is referenced by:  exmidlpo  7119