Theorem exmidomni 7135

Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomni	|- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni

Dummy variables u f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidomniim 7134	. 2 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )
2		vex 2740	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
3		eleq1w 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x e. Omni <-> u e. Omni ) )
4	2, 3	spcv 2831	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x e. Omni -> u e. Omni )
5		xpeq1 4638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x X. { (/) } ) = ( u X. { (/) } ) )
6	5	fveq1d 5514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = ( ( u X. { (/) } ) ` y ) )
7	6	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
8	7	rexeqbi1dv 2681	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
9	6	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
10	9	raleqbi1dv 2680	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
11	8, 10	orbi12d 793	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
12		vex 2740	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
13		isomni 7129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
15	14	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Omni -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
16		0ex 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
17	16	prid1 3698	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. { (/) , 1o }
18		df2o3 6426	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = { (/) , 1o }
19	17, 18	eleqtrri 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
20	19	fconst6 5412	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. { (/) } ) : x --> 2o
21		p0ex 4186	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
22	12, 21	xpex 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x X. { (/) } ) e. _V
23		feq1 5345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f : x --> 2o <-> ( x X. { (/) } ) : x --> 2o ) )
24		fveq1 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f ` y ) = ( ( x X. { (/) } ) ` y ) )
25	24	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = (/) <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
26	25	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
27	24	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = 1o <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
28	27	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o <-> A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
29	26, 28	orbi12d 793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
30	23, 29	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) <-> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) ) )
31	22, 30	spcv 2831	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) -> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
32	15, 20, 31	mpisyl 1446	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Omni -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
33	11, 32	vtoclga 2803	. . . . . . . . 9 |- ( u e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A. x x e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u C_ { (/) } )
37		rexm 3522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> E. y y e. u )
38		sssnm 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y y e. u -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
41	36, 40	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u = { (/) } )
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> u = { (/) } ) )
43		nfv 1528	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } )
44		nfra1 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o
45	43, 44	nfan 1565	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
46		nfcv 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y u
47		nfcv 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y (/)
48		1n0 6428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
49	48	neii 2349	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o = (/)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
51	50	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
52	16	fvconst2 5729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. u -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
54	51, 53	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> 1o = (/) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> 1o = (/) ) )
56	49, 55	mtoi 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> -. y e. u )
57	56	pm2.21d 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> y e. (/) ) )
58	45, 46, 47, 57	ssrd 3160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u C_ (/) )
59		ss0 3463	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ (/) -> u = (/) )
60	58, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o -> u = (/) ) )
62	42, 61	orim12d 786	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) ) )
63	35, 62	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) )
64	63	orcomd 729	. . . . 5 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) )
65	64	ex 115	. . . 4 |- ( A. x x e. Omni -> ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
66	65	alrimiv 1874	. . 3 |- ( A. x x e. Omni -> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
67		exmid01 4196	. . 3 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
68	66, 67	sylibr 134	. 2 |- ( A. x x e. Omni -> EXMID )
69	1, 68	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   {cpr 3593  EXMIDwem 4192   X. cxp 4622   -->wf 5209   ` cfv 5213   1oc1o 6405   2oc2o 6406  Omnicomni 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-exmid 4193  df-id 4291  df-suc 4369  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-1o 6412  df-2o 6413  df-omni 7128

This theorem is referenced by:  exmidlpo  7136