Theorem exmidomni 7088

Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomni	|- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni

Dummy variables u f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidomniim 7087	. 2 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )
2		vex 2715	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
3		eleq1w 2218	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x e. Omni <-> u e. Omni ) )
4	2, 3	spcv 2806	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x e. Omni -> u e. Omni )
5		xpeq1 4603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x X. { (/) } ) = ( u X. { (/) } ) )
6	5	fveq1d 5473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = ( ( u X. { (/) } ) ` y ) )
7	6	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
8	7	rexeqbi1dv 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
9	6	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
10	9	raleqbi1dv 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
11	8, 10	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
12		vex 2715	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
13		isomni 7082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
15	14	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Omni -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
16		0ex 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
17	16	prid1 3667	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. { (/) , 1o }
18		df2o3 6380	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = { (/) , 1o }
19	17, 18	eleqtrri 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
20	19	fconst6 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. { (/) } ) : x --> 2o
21		p0ex 4152	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
22	12, 21	xpex 4704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x X. { (/) } ) e. _V
23		feq1 5305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f : x --> 2o <-> ( x X. { (/) } ) : x --> 2o ) )
24		fveq1 5470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f ` y ) = ( ( x X. { (/) } ) ` y ) )
25	24	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = (/) <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
26	25	rexbidv 2458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
27	24	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = 1o <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
28	27	ralbidv 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o <-> A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
29	26, 28	orbi12d 783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
30	23, 29	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) <-> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) ) )
31	22, 30	spcv 2806	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) -> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
32	15, 20, 31	mpisyl 1426	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Omni -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
33	11, 32	vtoclga 2778	. . . . . . . . 9 |- ( u e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A. x x e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
35	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
36		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u C_ { (/) } )
37		rexm 3494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> E. y y e. u )
38		sssnm 3719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y y e. u -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
40	39	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
41	36, 40	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u = { (/) } )
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> u = { (/) } ) )
43		nfv 1508	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } )
44		nfra1 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o
45	43, 44	nfan 1545	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
46		nfcv 2299	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y u
47		nfcv 2299	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y (/)
48		1n0 6382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
49	48	neii 2329	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o = (/)
50		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
51	50	r19.21bi 2545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
52	16	fvconst2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. u -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
54	51, 53	eqtr3d 2192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> 1o = (/) )
55	54	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> 1o = (/) ) )
56	49, 55	mtoi 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> -. y e. u )
57	56	pm2.21d 609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> y e. (/) ) )
58	45, 46, 47, 57	ssrd 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u C_ (/) )
59		ss0 3435	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ (/) -> u = (/) )
60	58, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u = (/) )
61	60	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o -> u = (/) ) )
62	42, 61	orim12d 776	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) ) )
63	35, 62	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) )
64	63	orcomd 719	. . . . 5 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) )
65	64	ex 114	. . . 4 |- ( A. x x e. Omni -> ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
66	65	alrimiv 1854	. . 3 |- ( A. x x e. Omni -> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
67		exmid01 4162	. . 3 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
68	66, 67	sylibr 133	. 2 |- ( A. x x e. Omni -> EXMID )
69	1, 68	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1333   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561   {cpr 3562  EXMIDwem 4158   X. cxp 4587   -->wf 5169   ` cfv 5173   1oc1o 6359   2oc2o 6360  Omnicomni 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-exmid 4159  df-id 4256  df-suc 4334  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-1o 6366  df-2o 6367  df-omni 7081

This theorem is referenced by:  exmidlpo  7089