Theorem exmidomni 7305

Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomni	|- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni

Dummy variables u f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidomniim 7304	. 2 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )
2		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
3		eleq1w 2290	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x e. Omni <-> u e. Omni ) )
4	2, 3	spcv 2897	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x e. Omni -> u e. Omni )
5		xpeq1 4732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x X. { (/) } ) = ( u X. { (/) } ) )
6	5	fveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = ( ( u X. { (/) } ) ` y ) )
7	6	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
8	7	rexeqbi1dv 2741	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
9	6	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
10	9	raleqbi1dv 2740	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
11	8, 10	orbi12d 798	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
12		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
13		isomni 7299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
15	14	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Omni -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
16		0ex 4210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
17	16	prid1 3772	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. { (/) , 1o }
18		df2o3 6574	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = { (/) , 1o }
19	17, 18	eleqtrri 2305	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
20	19	fconst6 5524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. { (/) } ) : x --> 2o
21		p0ex 4271	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
22	12, 21	xpex 4833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x X. { (/) } ) e. _V
23		feq1 5455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f : x --> 2o <-> ( x X. { (/) } ) : x --> 2o ) )
24		fveq1 5625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f ` y ) = ( ( x X. { (/) } ) ` y ) )
25	24	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = (/) <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
26	25	rexbidv 2531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
27	24	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = 1o <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
28	27	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o <-> A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
29	26, 28	orbi12d 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
30	23, 29	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) <-> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) ) )
31	22, 30	spcv 2897	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) -> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
32	15, 20, 31	mpisyl 1489	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Omni -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
33	11, 32	vtoclga 2867	. . . . . . . . 9 |- ( u e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A. x x e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u C_ { (/) } )
37		rexm 3591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> E. y y e. u )
38		sssnm 3831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y y e. u -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
41	36, 40	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u = { (/) } )
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> u = { (/) } ) )
43		nfv 1574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } )
44		nfra1 2561	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o
45	43, 44	nfan 1611	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
46		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y u
47		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y (/)
48		1n0 6576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
49	48	neii 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o = (/)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
51	50	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
52	16	fvconst2 5854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. u -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
54	51, 53	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> 1o = (/) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> 1o = (/) ) )
56	49, 55	mtoi 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> -. y e. u )
57	56	pm2.21d 622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> y e. (/) ) )
58	45, 46, 47, 57	ssrd 3229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u C_ (/) )
59		ss0 3532	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ (/) -> u = (/) )
60	58, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o -> u = (/) ) )
62	42, 61	orim12d 791	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) ) )
63	35, 62	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) )
64	63	orcomd 734	. . . . 5 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) )
65	64	ex 115	. . . 4 |- ( A. x x e. Omni -> ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
66	65	alrimiv 1920	. . 3 |- ( A. x x e. Omni -> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
67		exmid01 4281	. . 3 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
68	66, 67	sylibr 134	. 2 |- ( A. x x e. Omni -> EXMID )
69	1, 68	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667  EXMIDwem 4277   X. cxp 4716   -->wf 5313   ` cfv 5317   1oc1o 6553   2oc2o 6554  Omnicomni 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-exmid 4278  df-id 4383  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-1o 6560  df-2o 6561  df-omni 7298

This theorem is referenced by:  exmidlpo  7306