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Theorem exmidomni 7088
Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidomni  |-  (EXMID  <->  A. x  x  e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni
Dummy variables  u  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exmidomniim 7087 . 2  |-  (EXMID  ->  A. x  x  e. Omni )
2 vex 2715 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
3 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e. Omni  <->  u  e. Omni ) )
42, 3spcv 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  e. Omni  ->  u  e. Omni )
5 xpeq1 4603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
x  X.  { (/) } )  =  ( u  X.  { (/) } ) )
65fveq1d 5473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y ) )
76eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  <->  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/) ) )
87rexeqbi1dv 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  <->  E. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/) ) )
96eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o  <->  ( ( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) )
109raleqbi1dv 2660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o  <->  A. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) )
118, 10orbi12d 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( E. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `
 y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `
 y )  =  1o )  <->  ( E. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) ) )
12 vex 2715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
13 isomni 7082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. Omni  <->  A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
1514biimpi 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e. Omni  ->  A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) ) )
16 0ex 4094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
1716prid1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
18 df2o3 6380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1917, 18eleqtrri 2233 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  2o
2019fconst6 5372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  X.  { (/) } ) : x --> 2o
21 p0ex 4152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  e.  _V
2212, 21xpex 4704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  X.  { (/) } )  e.  _V
23 feq1 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( f : x --> 2o  <->  ( x  X.  { (/) } ) : x --> 2o ) )
24 fveq1 5470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y ) )
2524eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( ( f `  y )  =  (/)  <->  (
( x  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/) ) )
2625rexbidv 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  <->  E. y  e.  x  (
( x  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/) ) )
2724eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( ( f `  y )  =  1o  <->  ( ( x  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) )
2827ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  1o  <->  A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) )
2926, 28orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( ( E. y  e.  x  ( f `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  1o )  <-> 
( E. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `
 y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `
 y )  =  1o ) ) )
3023, 29imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  X.  { (/) } )  -> 
( ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) )  <->  ( (
x  X.  { (/) } ) : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o ) ) ) )
3122, 30spcv 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f ( f : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( f `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  1o ) )  -> 
( ( x  X.  { (/) } ) : x --> 2o  ->  ( E. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  x  ( ( x  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o ) ) )
3215, 20, 31mpisyl 1426 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e. Omni  ->  ( E. y  e.  x  ( (
x  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  x  ( (
x  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o ) )
3311, 32vtoclga 2778 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e. Omni  ->  ( E. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o ) )
344, 33syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  e. Omni  ->  ( E. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o ) )
3534adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o ) )
36 simplr 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  E. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/) )  ->  u  C_ 
{ (/) } )
37 rexm 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/)  ->  E. y 
y  e.  u )
38 sssnm 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  y  e.  u  ->  ( u  C_  { (/) }  <-> 
u  =  { (/) } ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/)  ->  (
u  C_  { (/) }  <->  u  =  { (/) } ) )
4039adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  E. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/) )  ->  (
u  C_  { (/) }  <->  u  =  { (/) } ) )
4136, 40mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  E. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/) )  ->  u  =  { (/) } )
4241ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/)  ->  u  =  { (/) } ) )
43 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )
44 nfra1 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o
4543, 44nfan 1545 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o )
46 nfcv 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
u
47 nfcv 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y (/)
48 1n0 6382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =/=  (/)
4948neii 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  =  (/)
50 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  ->  A. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )
5150r19.21bi 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o )  /\  y  e.  u
)  ->  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )
5216fvconst2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  u  ->  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  (/) )
5352adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o )  /\  y  e.  u
)  ->  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/) )
5451, 53eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o )  /\  y  e.  u
)  ->  1o  =  (/) )
5554ex 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  -> 
( y  e.  u  ->  1o  =  (/) ) )
5649, 55mtoi 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  ->  -.  y  e.  u
)
5756pm2.21d 609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  -> 
( y  e.  u  ->  y  e.  (/) ) )
5845, 46, 47, 57ssrd 3133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  ->  u  C_  (/) )
59 ss0 3435 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  (/)  ->  u  =  (/) )
6058, 59syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  /\  A. y  e.  u  ( (
u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  ->  u  =  (/) )
6160ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( A. y  e.  u  (
( u  X.  { (/)
} ) `  y
)  =  1o  ->  u  =  (/) ) )
6242, 61orim12d 776 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( ( E. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  u  ( ( u  X.  { (/) } ) `  y )  =  1o )  ->  ( u  =  { (/) }  \/  u  =  (/) ) ) )
6335, 62mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u  =  { (/) }  \/  u  =  (/) ) )
6463orcomd 719 . . . . 5  |-  ( ( A. x  x  e. Omni  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u  =  (/)  \/  u  =  { (/) } ) )
6564ex 114 . . . 4  |-  ( A. x  x  e. Omni  ->  (
u  C_  { (/) }  ->  ( u  =  (/)  \/  u  =  { (/) } ) ) )
6665alrimiv 1854 . . 3  |-  ( A. x  x  e. Omni  ->  A. u
( u  C_  { (/) }  ->  ( u  =  (/)  \/  u  =  { (/)
} ) ) )
67 exmid01 4162 . . 3  |-  (EXMID  <->  A. u
( u  C_  { (/) }  ->  ( u  =  (/)  \/  u  =  { (/)
} ) ) )
6866, 67sylibr 133 . 2  |-  ( A. x  x  e. Omni  -> EXMID )
691, 68impbii 125 1  |-  (EXMID  <->  A. x  x  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698   A.wal 1333    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561   {cpr 3562  EXMIDwem 4158    X. cxp 4587   -->wf 5169   ` cfv 5173   1oc1o 6359   2oc2o 6360  Omnicomni 7080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-exmid 4159  df-id 4256  df-suc 4334  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-1o 6366  df-2o 6367  df-omni 7081
This theorem is referenced by:  exmidlpo  7089
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