Theorem exmidomni 7433

Description: Excluded middle is equivalent to every set being omniscient. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidomni	|- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Proof of Theorem exmidomni

Dummy variables u f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidomniim 7432	. 2 |- (EXMID -> A. x x e. Omni )
2		vex 2816	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
3		eleq1w 2293	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x e. Omni <-> u e. Omni ) )
4	2, 3	spcv 2911	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x e. Omni -> u e. Omni )
5		xpeq1 4763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x X. { (/) } ) = ( u X. { (/) } ) )
6	5	fveq1d 5672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = ( ( u X. { (/) } ) ` y ) )
7	6	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
8	7	rexeqbi1dv 2754	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) <-> E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
9	6	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
10	9	raleqbi1dv 2753	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o <-> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
11	8, 10	orbi12d 801	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
12		vex 2816	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
13		isomni 7427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Omni <-> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
15	14	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Omni -> A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) )
16		0ex 4237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
17	16	prid1 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. { (/) , 1o }
18		df2o3 6662	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = { (/) , 1o }
19	17, 18	eleqtrri 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
20	19	fconst6 5567	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. { (/) } ) : x --> 2o
21		p0ex 4301	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
22	12, 21	xpex 4866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x X. { (/) } ) e. _V
23		feq1 5491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f : x --> 2o <-> ( x X. { (/) } ) : x --> 2o ) )
24		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( f ` y ) = ( ( x X. { (/) } ) ` y ) )
25	24	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = (/) <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
26	25	rexbidv 2543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) <-> E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) )
27	24	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f ` y ) = 1o <-> ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
28	27	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = 1o <-> A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
29	26, 28	orbi12d 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) <-> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
30	23, 29	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x X. { (/) } ) -> ( ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) <-> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) ) )
31	22, 30	spcv 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f ( f : x --> 2o -> ( E. y e. x ( f ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( f ` y ) = 1o ) ) -> ( ( x X. { (/) } ) : x --> 2o -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) ) )
32	15, 20, 31	mpisyl 1492	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Omni -> ( E. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. x ( ( x X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
33	11, 32	vtoclga 2881	. . . . . . . . 9 |- ( u e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A. x x e. Omni -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) )
36		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u C_ { (/) } )
37		rexm 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> E. y y e. u )
38		sssnm 3858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y y e. u -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> ( u C_ { (/) } <-> u = { (/) } ) )
41	36, 40	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) ) -> u = { (/) } )
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) -> u = { (/) } ) )
43		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } )
44		nfra1 2573	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o
45	43, 44	nfan 1614	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
46		nfcv 2384	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y u
47		nfcv 2384	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y (/)
48		1n0 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
49	48	neii 2414	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 1o = (/)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
51	50	r19.21bi 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o )
52	16	fvconst2 5900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. u -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) )
54	51, 53	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) /\ y e. u ) -> 1o = (/) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> 1o = (/) ) )
56	49, 55	mtoi 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> -. y e. u )
57	56	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( y e. u -> y e. (/) ) )
58	45, 46, 47, 57	ssrd 3243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u C_ (/) )
59		ss0 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ (/) -> u = (/) )
60	58, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) /\ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> u = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o -> u = (/) ) )
62	42, 61	orim12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( ( E. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = (/) \/ A. y e. u ( ( u X. { (/) } ) ` y ) = 1o ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) ) )
63	35, 62	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = { (/) } \/ u = (/) ) )
64	63	orcomd 737	. . . . 5 |- ( ( A. x x e. Omni /\ u C_ { (/) } ) -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) )
65	64	ex 115	. . . 4 |- ( A. x x e. Omni -> ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
66	65	alrimiv 1923	. . 3 |- ( A. x x e. Omni -> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
67		exmid01 4311	. . 3 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> ( u = (/) \/ u = { (/) } ) ) )
68	66, 67	sylibr 134	. 2 |- ( A. x x e. Omni -> EXMID )
69	1, 68	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x x e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   {cpr 3690  EXMIDwem 4307   X. cxp 4747   -->wf 5348   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641  Omnicomni 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-exmid 4308  df-id 4414  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648  df-omni 7426

This theorem is referenced by:  exmidlpo  7434