Theorem f1ocnvfv 5829

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . 3 |- ( D = ( F ` C ) -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
2	1	eqcoms 2199	. 2 |- ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
3		f1ocnvfv1 5827	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )
4	3	eqeq2d 2208	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) <-> ( `' F ` D ) = C ) )
5	2, 4	imbitrid 154	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   `'ccnv 4663   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5830  f1oiso2  5877  frecuzrdgtcl  10521  frecuzrdgsuc  10523  frecuzrdgfunlem  10528  frecfzennn  10535  0tonninf  10549  1tonninf  10550  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  sqpweven  12368  2sqpwodd  12369  mhmf1o  13172  ghmf1o  13481  012of  15724  isomninnlem  15761  iswomninnlem  15780  ismkvnnlem  15783