Theorem f1ocnvfv 5823

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. . 3 |- ( D = ( F ` C ) -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
2	1	eqcoms 2196	. 2 |- ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
3		f1ocnvfv1 5821	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )
4	3	eqeq2d 2205	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) <-> ( `' F ` D ) = C ) )
5	2, 4	imbitrid 154	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   `'ccnv 4659   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5824  f1oiso2  5871  frecuzrdgtcl  10486  frecuzrdgsuc  10488  frecuzrdgfunlem  10493  frecfzennn  10500  0tonninf  10514  1tonninf  10515  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  sqpweven  12316  2sqpwodd  12317  mhmf1o  13045  ghmf1o  13348  012of  15556  isomninnlem  15590  iswomninnlem  15609  ismkvnnlem  15612