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Theorem isomninnlem 15176
Description: Lemma for isomninn 15177. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
isomninnlem.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
Assertion
Ref Expression
isomninnlem  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x   
f, G, x    f, V, x

Proof of Theorem isomninnlem
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomnimap 7153 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) ) )
2 fveq1 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
g `  x )  =  ( ( `' G  o.  f ) `
 x ) )
32eqeq1d 2198 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  <->  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  (/) ) )
43rexbidv 2491 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  (/) ) )
52eqeq1d 2198 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( g `  x
)  =  1o  <->  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  1o ) )
65ralbidv 2490 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  1o ) )
74, 6orbi12d 794 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o ) ) )
8 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
9 isomninnlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
109012of 15143 . . . . . . . 8  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> 2o
11 elmapi 6688 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
1211adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
13 fco2 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : {
0 ,  1 } --> 2o  /\  f : A --> { 0 ,  1 } )  -> 
( `' G  o.  f ) : A --> 2o )
1410, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( `' G  o.  f
) : A --> 2o )
15 2onn 6540 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  om
1615a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  2o  e.  om )
17 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  A  e.  V )
1816, 17elmapd 6680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
( `' G  o.  f )  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
( `' G  o.  f ) : A --> 2o ) )
1914, 18mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( `' G  o.  f
)  e.  ( 2o 
^m  A ) )
207, 8, 19rspcdva 2861 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o ) )
21 nfv 1539 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  e.  V
22 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( 2o  ^m  A
)
23 nfre1 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)
24 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o
2523, 24nfor 1585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o )
2622, 25nfralxy 2528 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o )
2721, 26nfan 1576 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
28 nfv 1539 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A )
2927, 28nfan 1576 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )
309frechashgf1o 10446 . . . . . . . . . . 11  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
31 0nn0 9209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
32 1nn0 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
33 prssi 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3431, 32, 33mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
3735, 36ffvelcdmd 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  { 0 ,  1 } )
3834, 37sselid 3168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  NN0 )
39 f1ocnvfv2 5795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( f `
 x )  e. 
NN0 )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `  x ) ) )  =  ( f `  x ) )
4030, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `  x ) ) )  =  ( f `  x ) )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( f `
 x ) )
42 fvco3 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> { 0 ,  1 }  /\  x  e.  A )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )
4335, 42sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )
4443eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  <->  ( `' G `  ( f `  x ) )  =  (/) ) )
4544biimpa 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( `' G `  ( f `  x
) )  =  (/) )
4645fveq2d 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( G `
 (/) ) )
47 0zd 9283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
4847, 9frec2uz0d 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( G `  (/) )  =  0 )
4948mptru 1373 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 (/) )  =  0
5046, 49eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  0 )
5141, 50eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( f `  x
)  =  0 )
5251exp31 364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  ->  ( f `  x )  =  0 ) ) )
5329, 52reximdai 2588 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0 ) )
5440adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( f `
 x ) )
5543adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  ( `' G `  ( f `  x
) ) )
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o )
5755, 56eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( `' G `  ( f `  x
) )  =  1o )
5857fveq2d 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( G `
 1o ) )
59 df-1o 6435 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =  suc  (/)
6059fveq2i 5533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 1o )  =  ( G `  suc  (/) )
61 peano1 4608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (/)  e.  om )
6347, 9, 62frec2uzsucd 10419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( G `  suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 ) )
6463mptru 1373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 )
6549oveq1i 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
66 0p1e1 9051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6765, 66eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  1
6860, 64, 673eqtri 2214 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 1o )  =  1
6958, 68eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  1 )
7054, 69eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( f `  x )  =  1 )
7170ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o  ->  ( f `  x )  =  1 ) )
7229, 71ralimdaa 2556 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
7353, 72orim12d 787 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) ) )
7420, 73mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )
7574ralrimiva 2563 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o 
^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o ) )  ->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
76 fveq1 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
f `  x )  =  ( ( G  o.  g ) `  x ) )
7776eqeq1d 2198 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 ) )
7877rexbidv 2491 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  <->  E. x  e.  A  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 ) )
7976eqeq1d 2198 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( f `  x
)  =  1  <->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 ) )
8079ralbidv 2490 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1  <->  A. x  e.  A  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 ) )
8178, 80orbi12d 794 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )  <->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  1 ) ) )
82 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
8392o01f 15144 . . . . . . . 8  |-  ( G  |`  2o ) : 2o --> { 0 ,  1 }
84 elmapi 6688 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  g : A --> 2o )
8584adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  g : A --> 2o )
86 fco2 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  |`  2o ) : 2o --> { 0 ,  1 }  /\  g : A --> 2o )  ->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } )
8783, 85, 86sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } )
88 prexg 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
8931, 32, 88mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
9089a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
91 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  A  e.  V )
9290, 91elmapd 6680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
( G  o.  g
)  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A )  <->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } ) )
9387, 92mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( G  o.  g )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )
9481, 82, 93rspcdva 2861 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1 ) )
95 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( { 0 ,  1 }  ^m  A
)
96 nfre1 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0
97 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1
9896, 97nfor 1585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )
9995, 98nfralxy 2528 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )
10021, 99nfan 1576 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
101 nfv 1539 . . . . . . . 8  |-  F/ x  g  e.  ( 2o  ^m  A )
102100, 101nfan 1576 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )
10384ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  g : A --> 2o )
104 omelon 4623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  e.  On
105104onelssi 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  C_ 
om )
10615, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  C_  om
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  2o  C_ 
om )
108103, 107fssd 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  g : A --> om )
109 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
110108, 109ffvelcdmd 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  om )
111 f1ocnvfv1 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( g `
 x )  e. 
om )  ->  ( `' G `  ( G `
 ( g `  x ) ) )  =  ( g `  x ) )
11230, 110, 111sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( `' G `  ( G `
 ( g `  x ) ) )  =  ( g `  x ) )
113112adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( g `
 x ) )
114 fvco3 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : A --> 2o  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  ( G `
 ( g `  x ) ) )
115103, 114sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  ( G `  ( g `  x
) ) )
116115eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  <->  ( G `  ( g `  x ) )  =  0 ) )
117116biimpa 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( G `  (
g `  x )
)  =  0 )
118117fveq2d 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( `' G `  0 ) )
119 f1ocnvfv 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) ) )
12030, 61, 119mp2an 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) )
12149, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G `  0 )  =  (/)
122118, 121eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  (/) )
123113, 122eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( g `  x
)  =  (/) )
124123exp31 364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  ->  ( g `  x )  =  (/) ) ) )
125102, 124reximdai 2588 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  ->  E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/) ) )
126112adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( g `
 x ) )
127115eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  <->  ( G `  ( g `  x ) )  =  1 ) )
128127biimpa 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( G `  (
g `  x )
)  =  1 )
129128fveq2d 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( `' G `  1 ) )
130 1onn 6539 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
131 f1ocnvfv 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  1o  e.  om )  ->  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o ) )
13230, 130, 131mp2an 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o )
13368, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G `  1 )  =  1o
134129, 133eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  1o )
135126, 134eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( g `  x
)  =  1o )
136135ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  -> 
( g `  x
)  =  1o ) )
137102, 136ralimdaa 2556 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
138125, 137orim12d 787 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  1 )  ->  ( E. x  e.  A  (
g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) ) )
13994, 138mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o ) )
140139ralrimiva 2563 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  ->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
14175, 140impbida 596 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o )  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
1421, 141bitrd 188 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {cpr 3608    |-> cmpt 4079   suc csuc 4380   omcom 4604   `'ccnv 4640    |` cres 4643    o. ccom 4645   -->wf 5227   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   1oc1o 6428   2oc2o 6429    ^m cmap 6666  Omnicomni 7150   0cc0 7829   1c1 7830    + caddc 7832   NN0cn0 9194   ZZcz 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-omni 7151  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547
This theorem is referenced by:  isomninn  15177
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