isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 14781

Description: Lemma for isomninn 14782. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7135	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5515	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2478	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2477	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 793	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 14748	. . . . . . . 8
11		elmapi 6670	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5383	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6522	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6662	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2847	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1528	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2520	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2508	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1574	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2515	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1565	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1528	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1565	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10428	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9191	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9192	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3154	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5779	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5588	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9265	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10399	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1362	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2575	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6417	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5519	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4594	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10401	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1362	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 9033	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2198	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2202	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2543	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 786	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2550	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5515	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2478	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2477	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 793	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 14749	. . . . . . . 8
84		elmapi 6670	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5383	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4212	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6662	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2847	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2520	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2508	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1574	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2515	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1565	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1528	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1565	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4609	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4430	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5379	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5778	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5588	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5780	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2575	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6521	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5780	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2543	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 786	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2550	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 596	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 188	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708

wceq 1353

wtru 1354

wcel 2148

wral 2455

wrex 2456

cvv 2738

wss 3130

c0 3423

cpr 3594

cmpt 4065

csuc 4366

com 4590

ccnv 4626

cres 4629

ccom 4631

wf 5213

wf1o 5216

cfv 5217 (class class class)co 5875 freccfrec 6391

c1o 6410

c2o 6411

cmap 6648 Omnicomni 7132

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cn0 9176

cz 9253

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-addcom 7911 ax-addass 7913 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-recs 6306 df-frec 6392 df-1o 6417 df-2o 6418 df-map 6650 df-omni 7133 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-inn 8920 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529

This theorem is referenced by: isomninn 14782

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