isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

	Mathbox for Jim Kingdon		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > isomninnlem		Unicode version

Theorem isomninnlem 15674

Description: Lemma for isomninn 15675. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7203	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5557	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2498	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2497	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 794	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 15640	. . . . . . . 8
11		elmapi 6729	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5424	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6579	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6721	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2873	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1542	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2540	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2528	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1588	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2535	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1579	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1542	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1579	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10520	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9264	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9265	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3780	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3181	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5825	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9338	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10491	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1373	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2595	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6474	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4630	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10493	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1373	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 9104	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2217	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2221	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2563	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 787	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2570	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5557	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2498	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2497	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 794	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 15641	. . . . . . . 8
84		elmapi 6729	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5424	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4244	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6721	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2873	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2540	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2528	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1588	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2535	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1579	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1542	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1579	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4464	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5420	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5824	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5826	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2595	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6578	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5826	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2563	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 787	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2570	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 596	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 188	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709

wceq 1364

wtru 1365

wcel 2167

wral 2475

wrex 2476

cvv 2763

wss 3157

c0 3450

cpr 3623

cmpt 4094

csuc 4400

com 4626

ccnv 4662

cres 4665

ccom 4667

wf 5254

wf1o 5257

cfv 5258 (class class class)co 5922 freccfrec 6448

c1o 6467

c2o 6468

cmap 6707 Omnicomni 7200

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cn0 9249

cz 9326

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-addcom 7979 ax-addass 7981 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-recs 6363 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-map 6709 df-omni 7201 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-inn 8991 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602

This theorem is referenced by: isomninn 15675

W3C validator