isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 14062

Description: Lemma for isomninn 14063. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7113	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5495	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2471	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2470	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 788	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 525	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 14028	. . . . . . . 8
11		elmapi 6648	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5364	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 412	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6500	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 524	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6640	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2839	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1521	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2513	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2501	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1567	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2508	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1558	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1521	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1558	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10384	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9150	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9151	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3738	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 424	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 418	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9224	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10355	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1357	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 362	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2568	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6395	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5499	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4578	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10357	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1357	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 8992	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2191	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2195	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 114	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2536	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 781	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2543	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5495	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2471	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2470	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 788	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 525	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 14029	. . . . . . . 8
84		elmapi 6648	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5364	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 412	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4196	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 424	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 524	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6640	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2839	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2513	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2501	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1567	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2508	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1558	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1521	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1558	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4593	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4414	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5756	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 418	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5758	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 424	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 362	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2568	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6499	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5758	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 424	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 114	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2536	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 781	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2543	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 591	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 187	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703

wceq 1348

wtru 1349

wcel 2141

wral 2448

wrex 2449

cvv 2730

wss 3121

c0 3414

cpr 3584

cmpt 4050

csuc 4350

com 4574

ccnv 4610

cres 4613

ccom 4615

wf 5194

wf1o 5197

cfv 5198 (class class class)co 5853 freccfrec 6369

c1o 6388

c2o 6389

cmap 6626 Omnicomni 7110

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cn0 9135

cz 9212

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-addcom 7874 ax-addass 7876 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-recs 6284 df-frec 6370 df-1o 6395 df-2o 6396 df-map 6628 df-omni 7111 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488

This theorem is referenced by: isomninn 14063

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