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Theorem isomninnlem 13373
Description: Lemma for isomninn 13374. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
isomninnlem.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
Assertion
Ref Expression
isomninnlem  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x   
f, G, x    f, V, x

Proof of Theorem isomninnlem
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomnimap 7012 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) ) )
2 fveq1 5423 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
g `  x )  =  ( ( `' G  o.  f ) `
 x ) )
32eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  <->  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  (/) ) )
43rexbidv 2438 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  (/) ) )
52eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( g `  x
)  =  1o  <->  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  1o ) )
65ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f
) `  x )  =  1o ) )
74, 6orbi12d 782 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( `' G  o.  f )  ->  (
( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o ) ) )
8 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
9 isomninnlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
109012of 13336 . . . . . . . 8  |-  ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : { 0 ,  1 } --> 2o
11 elmapi 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
1211adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
13 fco2 5292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' G  |`  { 0 ,  1 } ) : {
0 ,  1 } --> 2o  /\  f : A --> { 0 ,  1 } )  -> 
( `' G  o.  f ) : A --> 2o )
1410, 12, 13sylancr 410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( `' G  o.  f
) : A --> 2o )
15 2onn 6420 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  om
1615a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  2o  e.  om )
17 simpll 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  A  e.  V )
1816, 17elmapd 6559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
( `' G  o.  f )  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
( `' G  o.  f ) : A --> 2o ) )
1914, 18mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( `' G  o.  f
)  e.  ( 2o 
^m  A ) )
207, 8, 19rspcdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o ) )
21 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  e.  V
22 nfcv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( 2o  ^m  A
)
23 nfre1 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)
24 nfra1 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o
2523, 24nfor 1553 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o )
2622, 25nfralxy 2471 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o )
2721, 26nfan 1544 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
28 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A )
2927, 28nfan 1544 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )
309frechashgf1o 10225 . . . . . . . . . . 11  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
31 0nn0 9011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
32 1nn0 9012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
33 prssi 3681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3431, 32, 33mp2an 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3511ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  f : A --> { 0 ,  1 } )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
3735, 36ffvelrnd 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  { 0 ,  1 } )
3834, 37sseldi 3095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  NN0 )
39 f1ocnvfv2 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( f `
 x )  e. 
NN0 )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `  x ) ) )  =  ( f `  x ) )
4030, 38, 39sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `  x ) ) )  =  ( f `  x ) )
4140adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( f `
 x ) )
42 fvco3 5495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> { 0 ,  1 }  /\  x  e.  A )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )
4335, 42sylancom 416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )
4443eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  <->  ( `' G `  ( f `  x ) )  =  (/) ) )
4544biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( `' G `  ( f `  x
) )  =  (/) )
4645fveq2d 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( G `
 (/) ) )
47 0zd 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
4847, 9frec2uz0d 10196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( G `  (/) )  =  0 )
4948mptru 1340 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 (/) )  =  0
5046, 49eqtrdi 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  0 )
5141, 50eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/) )  -> 
( f `  x
)  =  0 )
5251exp31 361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  ->  ( f `  x )  =  0 ) ) )
5329, 52reximdai 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0 ) )
5440adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( f `
 x ) )
5543adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  ( `' G `  ( f `  x
) ) )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o )
5755, 56eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( `' G `  ( f `  x
) )  =  1o )
5857fveq2d 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  ( G `
 1o ) )
59 df-1o 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =  suc  (/)
6059fveq2i 5427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 1o )  =  ( G `  suc  (/) )
61 peano1 4511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (/)  e.  om )
6347, 9, 62frec2uzsucd 10198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( G `  suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 ) )
6463mptru 1340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 )
6549oveq1i 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
66 0p1e1 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6765, 66eqtri 2160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  1
6860, 64, 673eqtri 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 1o )  =  1
6958, 68eqtrdi 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( G `  ( `' G `  ( f `
 x ) ) )  =  1 )
7054, 69eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o )  ->  ( f `  x )  =  1 )
7170ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o  ->  ( f `  x )  =  1 ) )
7229, 71ralimdaa 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `  x
)  =  1o  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
7353, 72orim12d 775 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  (
( E. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( ( `' G  o.  f ) `
 x )  =  1o )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) ) )
7420, 73mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )
7574ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. g  e.  ( 2o 
^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o ) )  ->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
76 fveq1 5423 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
f `  x )  =  ( ( G  o.  g ) `  x ) )
7776eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 ) )
7877rexbidv 2438 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  <->  E. x  e.  A  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 ) )
7976eqeq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( f `  x
)  =  1  <->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 ) )
8079ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1  <->  A. x  e.  A  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 ) )
8178, 80orbi12d 782 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( G  o.  g )  ->  (
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )  <->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  1 ) ) )
82 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
8392o01f 13337 . . . . . . . 8  |-  ( G  |`  2o ) : 2o --> { 0 ,  1 }
84 elmapi 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  g : A --> 2o )
8584adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  g : A --> 2o )
86 fco2 5292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  |`  2o ) : 2o --> { 0 ,  1 }  /\  g : A --> 2o )  ->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } )
8783, 85, 86sylancr 410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } )
88 prexg 4136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
8931, 32, 88mp2an 422 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
9089a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
91 simpll 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  A  e.  V )
9290, 91elmapd 6559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
( G  o.  g
)  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A )  <->  ( G  o.  g ) : A --> { 0 ,  1 } ) )
9387, 92mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( G  o.  g )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) )
9481, 82, 93rspcdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1 ) )
95 nfcv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( { 0 ,  1 }  ^m  A
)
96 nfre1 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0
97 nfra1 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1
9896, 97nfor 1553 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )
9995, 98nfralxy 2471 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 )
10021, 99nfan 1544 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )
101 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ x  g  e.  ( 2o  ^m  A )
102100, 101nfan 1544 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )
10384ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  g : A --> 2o )
104 omelon 4525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  e.  On
105104onelssi 4354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  C_ 
om )
10615, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  C_  om
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  2o  C_ 
om )
108103, 107fssd 5288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  g : A --> om )
109 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
110108, 109ffvelrnd 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  om )
111 f1ocnvfv1 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( g `
 x )  e. 
om )  ->  ( `' G `  ( G `
 ( g `  x ) ) )  =  ( g `  x ) )
11230, 110, 111sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( `' G `  ( G `
 ( g `  x ) ) )  =  ( g `  x ) )
113112adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( g `
 x ) )
114 fvco3 5495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : A --> 2o  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  ( G `
 ( g `  x ) ) )
115103, 114sylancom 416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G  o.  g
) `  x )  =  ( G `  ( g `  x
) ) )
116115eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  <->  ( G `  ( g `  x ) )  =  0 ) )
117116biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( G `  (
g `  x )
)  =  0 )
118117fveq2d 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( `' G `  0 ) )
119 f1ocnvfv 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) ) )
12030, 61, 119mp2an 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) )
12149, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G `  0 )  =  (/)
122118, 121eqtrdi 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  (/) )
123113, 122eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  0 )  -> 
( g `  x
)  =  (/) )
124123exp31 361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  ->  ( g `  x )  =  (/) ) ) )
125102, 124reximdai 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  0  ->  E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/) ) )
126112adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( g `
 x ) )
127115eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  <->  ( G `  ( g `  x ) )  =  1 ) )
128127biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( G `  (
g `  x )
)  =  1 )
129128fveq2d 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  ( `' G `  1 ) )
130 1onn 6419 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
131 f1ocnvfv 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  1o  e.  om )  ->  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o ) )
13230, 130, 131mp2an 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o )
13368, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G `  1 )  =  1o
134129, 133eqtrdi 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( `' G `  ( G `  ( g `
 x ) ) )  =  1o )
135126, 134eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( {
0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  /\  (
( G  o.  g
) `  x )  =  1 )  -> 
( g `  x
)  =  1o )
136135ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  -> 
( g `  x
)  =  1o ) )
137102, 136ralimdaa 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x
)  =  1  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
138125, 137orim12d 775 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  (
( E. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( ( G  o.  g ) `  x )  =  1 )  ->  ( E. x  e.  A  (
g `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( g `  x )  =  1o ) ) )
13994, 138mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o ) )
140139ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  0  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1 ) )  ->  A. g  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( g `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  =  1o ) )
14175, 140impbida 585 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. g  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( g `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
g `  x )  =  1o )  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
1421, 141bitrd 187 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  0  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {cpr 3528    |-> cmpt 3992   suc csuc 4290   omcom 4507   `'ccnv 4541    |` cres 4544    o. ccom 4546   -->wf 5122   -1-1-onto->wf1o 5125   ` cfv 5126  (class class class)co 5777  freccfrec 6290   1oc1o 6309   2oc2o 6310    ^m cmap 6545  Omnicomni 7007   0cc0 7639   1c1 7640    + caddc 7642   NN0cn0 8996   ZZcz 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-recs 6205  df-frec 6291  df-1o 6316  df-2o 6317  df-map 6547  df-omni 7009  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346
This theorem is referenced by:  isomninn  13374
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