isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 16458

Description: Lemma for isomninn 16459. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7315	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5628	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2531	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2530	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 798	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 16416	. . . . . . . 8
11		elmapi 6825	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5492	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6675	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6817	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2912	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1574	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2372	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2573	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2561	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1620	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2568	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1611	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1574	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1611	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10662	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9395	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9396	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3826	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5908	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5707	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9469	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10633	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1404	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2628	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6568	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5632	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4686	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10635	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1404	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 9235	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2250	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2254	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2596	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 791	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2603	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5628	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2531	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2530	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 798	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 528	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 16417	. . . . . . . 8
84		elmapi 6825	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5492	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4295	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6817	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2912	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2372	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2573	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2561	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1620	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2568	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1611	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1574	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1611	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4701	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4520	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5486	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5907	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5707	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2628	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6674	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2596	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 791	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2603	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 598	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 188	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713

wceq 1395

wtru 1396

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cvv 2799

wss 3197

c0 3491

cpr 3667

cmpt 4145

csuc 4456

com 4682

ccnv 4718

cres 4721

ccom 4723

wf 5314

wf1o 5317

cfv 5318 (class class class)co 6007 freccfrec 6542

c1o 6561

c2o 6562

cmap 6803 Omnicomni 7312

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

cn0 9380

cz 9457

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-addcom 8110 ax-addass 8112 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-recs 6457 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-map 6805 df-omni 7313 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-inn 9122 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734

This theorem is referenced by: isomninn 16459

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