isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 16814

Description: Lemma for isomninn 16815. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7428	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5669	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2543	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2542	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 801	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 529	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 16767	. . . . . . . 8
11		elmapi 6904	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5529	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6754	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6896	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2926	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1577	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2384	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2585	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2573	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1623	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2580	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1614	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1577	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1614	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10790	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9511	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9512	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3852	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3236	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5951	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9589	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10761	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1407	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2640	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6647	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4716	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10763	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1407	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 6060	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 9351	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2253	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2257	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2608	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 794	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2615	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5669	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2543	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2542	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 801	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 529	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 16768	. . . . . . . 8
84		elmapi 6904	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5529	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6896	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2926	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2384	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2585	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2573	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1623	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2580	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1614	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1577	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1614	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4731	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4550	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5522	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5950	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2640	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6753	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2608	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 794	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2615	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 600	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 188	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wtru 1399

wcel 2203

wral 2520

wrex 2521

cvv 2813

wss 3211

c0 3508

cpr 3690

cmpt 4171

csuc 4486

com 4712

ccnv 4748

cres 4751

ccom 4753

wf 5348

wf1o 5351

cfv 5352 (class class class)co 6050 freccfrec 6621

c1o 6640

c2o 6641

cmap 6882 Omnicomni 7425

cc0 8127

c1 8128

caddc 8130

cn0 9496

cz 9577

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-addcom 8227 ax-addass 8229 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-recs 6536 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-map 6884 df-omni 7426 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-inn 9238 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854

This theorem is referenced by: isomninn 16815

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