isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 13743

Description: Lemma for isomninn 13744. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7092	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5479	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2173	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2465	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2173	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2464	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 783	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 520	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 13709	. . . . . . . 8
11		elmapi 6627	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5348	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 411	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6480	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 519	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6619	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2830	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1515	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2306	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2507	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2495	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1561	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2502	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1552	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1515	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1552	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10353	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9120	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9121	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3725	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 423	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sseldi 3135	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5740	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5551	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 417	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9194	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10324	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1351	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 362	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2562	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2199	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6375	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5483	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4565	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10326	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1351	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 5846	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 8962	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2185	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2189	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 114	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2530	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 776	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2537	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5479	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2173	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2465	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2173	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2464	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 783	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 520	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 13710	. . . . . . . 8
84		elmapi 6627	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5348	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 411	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4183	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 423	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 519	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6619	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2830	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2306	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2507	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2495	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1561	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2502	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1552	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1515	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1552	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4401	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5344	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5739	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5551	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 417	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 423	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 362	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2562	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6479	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 423	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 114	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2530	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 776	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2537	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 586	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 187	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698

wceq 1342

wtru 1343

wcel 2135

wral 2442

wrex 2443

cvv 2721

wss 3111

c0 3404

cpr 3571

cmpt 4037

csuc 4337

com 4561

ccnv 4597

cres 4600

ccom 4602

wf 5178

wf1o 5181

cfv 5182 (class class class)co 5836 freccfrec 6349

c1o 6368

c2o 6369

cmap 6605 Omnicomni 7089

cc0 7744

c1 7745

caddc 7747

cn0 9105

cz 9182

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-addcom 7844 ax-addass 7846 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-recs 6264 df-frec 6350 df-1o 6375 df-2o 6376 df-map 6607 df-omni 7090 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-inn 8849 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458

This theorem is referenced by: isomninn 13744

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