isomninnlem - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem isomninnlem 16940

Description: Lemma for isomninn 16941. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
isomninnlem.g	frec

**Assertion**
Ref	Expression
isomninnlem	Omni $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isomninnlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomnimap 7441	. 2 Omni $\/$
2		fveq1 5674	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2545	. . . . . . 7
5	2	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
6	5	ralbidv 2544	. . . . . . 7
7	4, 6	orbi12d 801	. . . . . 6 $\/$ $\/$
8		simplr 529	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
9		isomninnlem.g	. . . . . . . . 9 frec
10	9	012of 16893	. . . . . . . 8
11		elmapi 6917	. . . . . . . . 9
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
13		fco2 5534	. . . . . . . 8 $/\$
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
15		2onn 6767	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
18	16, 17	elmapd 6909	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
19	14, 18	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
20	7, 8, 19	rspcdva 2928	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
21		nfv 1577	. . . . . . . . 9
22		nfcv 2386	. . . . . . . . . 10
23		nfre1 2587	. . . . . . . . . . 11
24		nfra1 2575	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	nfor 1623	. . . . . . . . . 10 $\/$
26	22, 25	nfralxy 2582	. . . . . . . . 9 $\/$
27	21, 26	nfan 1614	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
28		nfv 1577	. . . . . . . 8
29	27, 28	nfan 1614	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
30	9	frechashgf1o 10814	. . . . . . . . . . 11
31		0nn0 9528	. . . . . . . . . . . . 13
32		1nn0 9529	. . . . . . . . . . . . 13
33		prssi 3857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12
35	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
37	35, 36	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
38	34, 37	sselid 3240	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
39		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	30, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35, 42	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	43	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
47		0zd 9606	. . . . . . . . . . . 12
48	47, 9	frec2uz0d 10785	. . . . . . . . . . 11
49	48	mptru 1407	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
51	41, 50	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
53	29, 52	reximdai 2642	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
54	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
55	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-1o 6660	. . . . . . . . . . . 12
60	59	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . 11
61		peano1 4721	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
63	47, 9, 62	frec2uzsucd 10787	. . . . . . . . . . . 12
64	63	mptru 1407	. . . . . . . . . . 11
65	49	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12
66		0p1e1 9368	. . . . . . . . . . . 12
67	65, 66	eqtri 2255	. . . . . . . . . . 11
68	60, 64, 67	3eqtri 2259	. . . . . . . . . 10
69	58, 68	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
72	29, 71	ralimdaa 2610	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
73	53, 72	orim12d 794	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
74	20, 73	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
75	74	ralrimiva 2617	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
76		fveq1 5674	. . . . . . . . 9
77	76	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
78	77	rexbidv 2545	. . . . . . 7
79	76	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2544	. . . . . . 7
81	78, 80	orbi12d 801	. . . . . 6 $\/$ $\/$
82		simplr 529	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
83	9	2o01f 16894	. . . . . . . 8
84		elmapi 6917	. . . . . . . . 9
85	84	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
86		fco2 5534	. . . . . . . 8 $/\$
87	83, 85, 86	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
88		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	31, 32, 88	mp2an 426	. . . . . . . . 9
90	89	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
91		simpll 527	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
92	90, 91	elmapd 6909	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93	87, 92	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
94	81, 82, 93	rspcdva 2928	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
95		nfcv 2386	. . . . . . . . . 10
96		nfre1 2587	. . . . . . . . . . 11
97		nfra1 2575	. . . . . . . . . . 11
98	96, 97	nfor 1623	. . . . . . . . . 10 $\/$
99	95, 98	nfralxy 2582	. . . . . . . . 9 $\/$
100	21, 99	nfan 1614	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
101		nfv 1577	. . . . . . . 8
102	100, 101	nfan 1614	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	84	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
104		omelon 4736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	onelssi 4555	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	15, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
108	103, 107	fssd 5527	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110	108, 109	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
111		f1ocnvfv1 5956	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	30, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
113	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
114		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	103, 114	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
116	115	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
117	116	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
119		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	30, 61, 119	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
121	49, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
122	118, 121	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
123	113, 122	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp31 364	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
125	102, 124	reximdai 2642	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
126	112	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
127	115	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
130		1onn 6766	. . . . . . . . . . . 12
131		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	30, 130, 131	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
133	68, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
134	129, 133	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
135	126, 134	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 115	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
137	102, 136	ralimdaa 2610	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
138	125, 137	orim12d 794	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
139	94, 138	mpd 13	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
140	139	ralrimiva 2617	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
141	75, 140	impbida 600	. 2 $\/$ $\/$
142	1, 141	bitrd 188	1 Omni $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wtru 1399

wcel 2205

wral 2522

wrex 2523

cvv 2815

wss 3214

c0 3512

cpr 3695

cmpt 4176

csuc 4491

com 4717

ccnv 4753

cres 4756

ccom 4758

wf 5353

wf1o 5356

cfv 5357 (class class class)co 6058 freccfrec 6634

c1o 6653

c2o 6654

cmap 6895 Omnicomni 7438

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cn0 9513

cz 9594

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-addcom 8243 ax-addass 8245 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-recs 6549 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-map 6897 df-omni 7439 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-inn 9255 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872

This theorem is referenced by: isomninn 16941

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