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Theorem ismkvnnlem 17007
Description: Lemma for ismkvnn 17008. The result, with a hypothesis to give a name to an expression for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ismkvnnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
ismkvnnlem |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem ismkvnnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismkvmap 7484 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) )
2 nfv 1581 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
3 nfcv 2392 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
4 nfra1 2581 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
54nfn 1710 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o
6 nfre1 2593 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( g ` x ) = (/)
75, 6nfim 1625 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
83, 7nfralxy 2588 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
92, 8nfan 1618 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
10 nfv 1581 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
119, 10nfan 1618 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
12 ismkvnnlem.g . . . . . . . . . . . 12 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
1312frechashgf1o 10843 . . . . . . . . . . 11 |- G : om -1-1-onto-> NN0
14 0nn0 9557 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
15 1nn0 9558 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
16 prssi 3868 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
1714, 15, 16mp2an 430 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
18 elmapi 6934 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
1918ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
2119, 20ffvelcdmd 5835 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
2217, 21sselid 3246 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
23 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2413, 22, 23sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
26 fvco3 5770 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2719, 26sylancom 424 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
3028, 29eqtr3d 2273 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o )
3130fveq2d 5694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) )
32 df-1o 6677 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5693 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9635 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4736 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 12, 36frec2uzsucd 10816 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1411 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 12frec2uz0d 10814 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 6085 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 9397 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2259 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2263 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4531, 44eqtrdi 2287 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
4625, 45eqtr3d 2273 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( f ` x ) = 1 )
4746ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> ( f ` x ) = 1 ) )
4811, 47ralimdaa 2616 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
4948con3d 640 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
50 fveq1 5689 . . . . . . . . . 10 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
5150eqeq1d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5251ralbidv 2550 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5352notbid 677 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5450eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5554rexbidv 2551 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( E. x e. A ( g ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5653, 55imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) ) )
57 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
5812012of 16937 . . . . . . . 8 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
5918adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
60 fco2 5549 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
6158, 59, 60sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
62 2onn 6784 . . . . . . . . 9 |- 2o e. om
6362a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
64 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
6563, 64elmapd 6926 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
6661, 65mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
6756, 57, 66rspcdva 2934 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
6824adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6927eqeq1d 2247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) ) )
7069biimpa 296 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) )
7170fveq2d 5694 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` (/) ) )
7271, 40eqtrdi 2287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 0 )
7368, 72eqtr3d 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( f ` x ) = 0 )
7473exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> ( f ` x ) = 0 ) ) )
7511, 74reximdai 2648 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7649, 67, 753syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7776ralrimiva 2623 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
78 nfcv 2392 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
79 nfra1 2581 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
8079nfn 1710 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( f ` x ) = 1
81 nfre1 2593 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( f ` x ) = 0
8280, 81nfim 1625 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
8378, 82nfralxy 2588 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
842, 83nfan 1618 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
85 nfv 1581 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
8684, 85nfan 1618 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
87 elmapi 6934 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8887ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
89 omelon 4751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- om e. On
9089onelssi 4569 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
9162, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o C_ om
9291a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
9388, 92fssd 5542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
94 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
9593, 94ffvelcdmd 5835 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
96 f1ocnvfv1 5973 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9713, 95, 96sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9897adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
99 fvco3 5770 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10088, 99sylancom 424 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
101100eqeq1d 2247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
102101biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 )
103102fveq2d 5694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) )
104 1onn 6783 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
105 f1ocnvfv 5975 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
10613, 104, 105mp2an 430 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
10744, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
108103, 107eqtrdi 2287 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
10998, 108eqtr3d 2273 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( g ` x ) = 1o )
110109ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> ( g ` x ) = 1o ) )
11186, 110ralimdaa 2616 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
112111con3d 640 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
113 fveq1 5689 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
114113eqeq1d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
115114ralbidv 2550 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
116115notbid 677 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
117113eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
118117rexbidv 2551 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
119116, 118imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) <-> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) ) )
120 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
121122o01f 16938 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
12287adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
123 fco2 5549 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
124121, 122, 123sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
125 prexg 4344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12614, 15, 125mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
127126a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
128 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
129127, 128elmapd 6926 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
130124, 129mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
131119, 120, 130rspcdva 2934 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
13297adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
133100eqeq1d 2247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 ) )
134133biimpa 296 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 )
135134fveq2d 5694 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 0 ) )
136 f1ocnvfv 5975 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
13713, 35, 136mp2an 430 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
13840, 137ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
139135, 138eqtrdi 2287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = (/) )
140132, 139eqtr3d 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( g ` x ) = (/) )
141140exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> ( g ` x ) = (/) ) ) )
14286, 141reximdai 2648 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
143112, 131, 1423syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
144143ralrimiva 2623 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
14577, 144impbida 604 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
1461, 145bitrd 188 1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {cpr 3706   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   `'ccnv 4768   |` cres 4771   o. ccom 4773   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  Markovcmarkov 7481   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   NN0cn0 9542   ZZcz 9623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-markov 7482  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901
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