Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismkvnnlem Unicode version
Theorem ismkvnnlem 16854
Description: Lemma for ismkvnn 16855. The result, with a hypothesis to give a name to an expression for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ismkvnnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
ismkvnnlem |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem ismkvnnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismkvmap 7447 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) )
2 nfv 1577 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
3 nfcv 2386 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
4 nfra1 2575 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
54nfn 1706 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o
6 nfre1 2587 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( g ` x ) = (/)
75, 6nfim 1621 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
83, 7nfralxy 2582 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
92, 8nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
10 nfv 1577 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
119, 10nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
12 ismkvnnlem.g . . . . . . . . . . . 12 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
1312frechashgf1o 10794 . . . . . . . . . . 11 |- G : om -1-1-onto-> NN0
14 0nn0 9513 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
15 1nn0 9514 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
16 prssi 3854 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
1714, 15, 16mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
18 elmapi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
1918ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
2119, 20ffvelcdmd 5815 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
2217, 21sselid 3238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
23 f1ocnvfv2 5953 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2413, 22, 23sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
26 fvco3 5750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2719, 26sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
3028, 29eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o )
3130fveq2d 5676 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) )
32 df-1o 6649 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5675 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9591 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4718 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 12, 36frec2uzsucd 10767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1407 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 12frec2uz0d 10765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1407 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 6062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 9353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2255 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4531, 44eqtrdi 2283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
4625, 45eqtr3d 2269 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( f ` x ) = 1 )
4746ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> ( f ` x ) = 1 ) )
4811, 47ralimdaa 2610 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
4948con3d 636 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
50 fveq1 5671 . . . . . . . . . 10 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
5150eqeq1d 2243 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5251ralbidv 2544 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5352notbid 673 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5450eqeq1d 2243 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5554rexbidv 2545 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( E. x e. A ( g ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5653, 55imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) ) )
57 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
5812012of 16784 . . . . . . . 8 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
5918adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
60 fco2 5531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
6158, 59, 60sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
62 2onn 6756 . . . . . . . . 9 |- 2o e. om
6362a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
64 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
6563, 64elmapd 6898 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
6661, 65mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
6756, 57, 66rspcdva 2928 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
6824adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6927eqeq1d 2243 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) ) )
7069biimpa 296 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) )
7170fveq2d 5676 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` (/) ) )
7271, 40eqtrdi 2283 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 0 )
7368, 72eqtr3d 2269 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( f ` x ) = 0 )
7473exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> ( f ` x ) = 0 ) ) )
7511, 74reximdai 2642 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7649, 67, 753syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7776ralrimiva 2617 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
78 nfcv 2386 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
79 nfra1 2575 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
8079nfn 1706 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( f ` x ) = 1
81 nfre1 2587 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( f ` x ) = 0
8280, 81nfim 1621 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
8378, 82nfralxy 2582 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
842, 83nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
85 nfv 1577 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
8684, 85nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
87 elmapi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
89 omelon 4733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- om e. On
9089onelssi 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
9162, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o C_ om
9291a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
9388, 92fssd 5524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
94 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
9593, 94ffvelcdmd 5815 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
96 f1ocnvfv1 5952 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9713, 95, 96sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9897adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
99 fvco3 5750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10088, 99sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
101100eqeq1d 2243 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
102101biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 )
103102fveq2d 5676 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) )
104 1onn 6755 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
105 f1ocnvfv 5954 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
10613, 104, 105mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
10744, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
108103, 107eqtrdi 2283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
10998, 108eqtr3d 2269 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( g ` x ) = 1o )
110109ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> ( g ` x ) = 1o ) )
11186, 110ralimdaa 2610 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
112111con3d 636 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
113 fveq1 5671 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
114113eqeq1d 2243 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
115114ralbidv 2544 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
116115notbid 673 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
117113eqeq1d 2243 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
118117rexbidv 2545 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
119116, 118imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) <-> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) ) )
120 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
121122o01f 16785 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
12287adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
123 fco2 5531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
124121, 122, 123sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
125 prexg 4327 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12614, 15, 125mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
127126a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
128 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
129127, 128elmapd 6898 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
130124, 129mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
131119, 120, 130rspcdva 2928 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
13297adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
133100eqeq1d 2243 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 ) )
134133biimpa 296 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 )
135134fveq2d 5676 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 0 ) )
136 f1ocnvfv 5954 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
13713, 35, 136mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
13840, 137ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
139135, 138eqtrdi 2283 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = (/) )
140132, 139eqtr3d 2269 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( g ` x ) = (/) )
141140exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> ( g ` x ) = (/) ) ) )
14286, 141reximdai 2642 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
143112, 131, 1423syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
144143ralrimiva 2617 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
14577, 144impbida 600 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
1461, 145bitrd 188 1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {cpr 3692   |-> cmpt 4173   suc csuc 4488   omcom 4714   `'ccnv 4750   |` cres 4753   o. ccom 4755   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052  freccfrec 6623   1oc1o 6642   2oc2o 6643   ^m cmap 6884  Markovcmarkov 7444   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   NN0cn0 9498   ZZcz 9579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-map 6886  df-markov 7445  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857
This theorem is referenced by:  ismkvnn  16855
  Copyright terms: Public domain W3C validator