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Theorem ismkvnnlem 14084
Description: Lemma for ismkvnn 14085. The result, with a hypothesis to give a name to an expression for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ismkvnnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
ismkvnnlem |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem ismkvnnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismkvmap 7130 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) )
2 nfv 1521 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
3 nfcv 2312 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
4 nfra1 2501 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
54nfn 1651 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o
6 nfre1 2513 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( g ` x ) = (/)
75, 6nfim 1565 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
83, 7nfralxy 2508 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) )
92, 8nfan 1558 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
10 nfv 1521 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
119, 10nfan 1558 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
12 ismkvnnlem.g . . . . . . . . . . . 12 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
1312frechashgf1o 10384 . . . . . . . . . . 11 |- G : om -1-1-onto-> NN0
14 0nn0 9150 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
15 1nn0 9151 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
16 prssi 3738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
1714, 15, 16mp2an 424 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
18 elmapi 6648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
1918ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
20 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
2119, 20ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
2217, 21sselid 3145 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
23 f1ocnvfv2 5757 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2413, 22, 23sylancr 412 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
2524adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
26 fvco3 5567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2719, 26sylancom 418 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
3028, 29eqtr3d 2205 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o )
3130fveq2d 5500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) )
32 df-1o 6395 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5499 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4578 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 12, 36frec2uzsucd 10357 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1357 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 12frec2uz0d 10355 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1357 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 5863 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 8992 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2191 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2195 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4531, 44eqtrdi 2219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
4625, 45eqtr3d 2205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) -> ( f ` x ) = 1 )
4746ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> ( f ` x ) = 1 ) )
4811, 47ralimdaa 2536 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
4948con3d 626 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
50 fveq1 5495 . . . . . . . . . 10 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
5150eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5251ralbidv 2470 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5352notbid 662 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
5450eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5554rexbidv 2471 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( E. x e. A ( g ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
5653, 55imbi12d 233 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) ) )
57 simplr 525 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
5812012of 14028 . . . . . . . 8 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
5918adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
60 fco2 5364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
6158, 59, 60sylancr 412 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
62 2onn 6500 . . . . . . . . 9 |- 2o e. om
6362a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
64 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
6563, 64elmapd 6640 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
6661, 65mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
6756, 57, 66rspcdva 2839 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) )
6824adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6927eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) ) )
7069biimpa 294 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) = (/) )
7170fveq2d 5500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` (/) ) )
7271, 40eqtrdi 2219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 0 )
7368, 72eqtr3d 2205 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) ) -> ( f ` x ) = 0 )
7473exp31 362 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> ( f ` x ) = 0 ) ) )
7511, 74reximdai 2568 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = (/) -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7649, 67, 753syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
7776ralrimiva 2543 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
78 nfcv 2312 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
79 nfra1 2501 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
8079nfn 1651 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x e. A ( f ` x ) = 1
81 nfre1 2513 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. A ( f ` x ) = 0
8280, 81nfim 1565 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
8378, 82nfralxy 2508 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 )
842, 83nfan 1558 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
85 nfv 1521 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
8684, 85nfan 1558 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
87 elmapi 6648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8887ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
89 omelon 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- om e. On
9089onelssi 4414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
9162, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o C_ om
9291a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
9388, 92fssd 5360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
94 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
9593, 94ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
96 f1ocnvfv1 5756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9713, 95, 96sylancr 412 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
9897adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
99 fvco3 5567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10088, 99sylancom 418 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
101100eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
102101biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 )
103102fveq2d 5500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) )
104 1onn 6499 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
105 f1ocnvfv 5758 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
10613, 104, 105mp2an 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
10744, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
108103, 107eqtrdi 2219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
10998, 108eqtr3d 2205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) -> ( g ` x ) = 1o )
110109ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> ( g ` x ) = 1o ) )
11186, 110ralimdaa 2536 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
112111con3d 626 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
113 fveq1 5495 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
114113eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
115114ralbidv 2470 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
116115notbid 662 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
117113eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
118117rexbidv 2471 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
119116, 118imbi12d 233 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) <-> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) ) )
120 simplr 525 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
121122o01f 14029 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
12287adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
123 fco2 5364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
124121, 122, 123sylancr 412 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
125 prexg 4196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12614, 15, 125mp2an 424 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
127126a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
128 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
129127, 128elmapd 6640 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
130124, 129mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
131119, 120, 130rspcdva 2839 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 -> E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) )
13297adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
133100eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 ) )
134133biimpa 294 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( G ` ( g ` x ) ) = 0 )
135134fveq2d 5500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 0 ) )
136 f1ocnvfv 5758 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
13713, 35, 136mp2an 424 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
13840, 137ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
139135, 138eqtrdi 2219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = (/) )
140132, 139eqtr3d 2205 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( G o. g ) ` x ) = 0 ) -> ( g ` x ) = (/) )
141140exp31 362 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( x e. A -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> ( g ` x ) = (/) ) ) )
14286, 141reximdai 2568 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( E. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 0 -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
143112, 131, 1423syld 57 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
144143ralrimiva 2543 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) )
14577, 144impbida 591 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( g ` x ) = 1o -> E. x e. A ( g ` x ) = (/) ) <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
1461, 145bitrd 187 1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1 -> E. x e. A ( f ` x ) = 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {cpr 3584   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   |` cres 4613   o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  Markovcmarkov 7127   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   NN0cn0 9135   ZZcz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-markov 7128  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488
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