Theorem f1ocnvfv 5822

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5554	. . 3 ⊢ (𝐷 = (𝐹‘𝐶) → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
2	1	eqcoms 2196	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
3		f1ocnvfv1 5820	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)
4	3	eqeq2d 2205	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
5	2, 4	imbitrid 154	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ^◡ccnv 4658  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5823  f1oiso2  5870  frecuzrdgtcl  10483  frecuzrdgsuc  10485  frecuzrdgfunlem  10490  frecfzennn  10497  0tonninf  10511  1tonninf  10512  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  sqpweven  12313  2sqpwodd  12314  mhmf1o  13042  ghmf1o  13345  012of  15486  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542