Theorem f1ocnvfv 5782

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . 3 ⊢ (𝐷 = (𝐹‘𝐶) → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
2	1	eqcoms 2180	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
3		f1ocnvfv1 5780	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)
4	3	eqeq2d 2189	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
5	2, 4	imbitrid 154	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ^◡ccnv 4627  –1-1-onto→wf1o 5217  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5783  f1oiso2  5830  frecuzrdgtcl  10414  frecuzrdgsuc  10416  frecuzrdgfunlem  10421  frecfzennn  10428  0tonninf  10441  1tonninf  10442  sqpweven  12177  2sqpwodd  12178  mhmf1o  12866  012of  14830  isomninnlem  14863  iswomninnlem  14882  ismkvnnlem  14885